Seja f: I -> R uma função contínua em um intervalo aberto I. Se f tem um máximo ou mínimo local em x = c, c pertence a I e f é derivável em c, então f'(c) = 0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua em um intervalo aberto . A função tem um máximo ou mínimo local em , que está dentro de , e é derivável em . Precisamos mostrar que a derivada de em , , é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de máximos e mínimos locais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ter um máximo ou mínimo local. Um ponto é um máximo local de se, em torno de , os valores de são menores ou iguais a . Ou seja, para valores de perto de , . Da mesma forma, é um mínimo local se para próximo de .

Passo 3

Como é derivável em , podemos usar a definição da derivada:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à curva de no ponto .

Passo 4

Vamos analisar o limite da derivada pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
  1. Para (pela direita):
    • Se é um máximo local, então , o que faz com que .
    • Então, porque .
  2. Para (pela esquerda):
    • Ainda considerando como um máximo local, .
    • Mas agora , então .

Passo 5

Para um mínimo local, o raciocínio é semelhante:
  1. Para (pela direita):
    • , então .
  2. Para (pela esquerda):
    • Ainda , mas , então .

Passo 6

Agora, como a derivada existe, os limites pelas direitas e esquerdas devem ser iguais. Ou seja:
De e , concluímos que esses limites devem ambos ser iguais a zero para satisfazer a igualdade necessária. Portanto, .

Resposta

Logo, a derivada de em é zero, ou seja, .

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