Seja
uma função contínua em um intervalo aberto
. Se
tem um máximo ou mínimo local em
e
é derivável em
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
contínua em um intervalo aberto
. A função tem um máximo ou mínimo local em
, que está dentro de
, e é derivável em
. Precisamos mostrar que a derivada de
em
,
, é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de máximos e mínimos locais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ter um máximo ou mínimo local. Um ponto
é um máximo local de
se, em torno de
, os valores de
são menores ou iguais a
. Ou seja, para valores de
perto de
,
. Da mesma forma,
é um mínimo local se
para
próximo de
.
Passo 3
Como
é derivável em
, podemos usar a definição da derivada:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à curva de
no ponto
.
Passo 4
Vamos analisar o limite da derivada pela direita (
) e pela esquerda (
).
-
Para
(pela direita): - Se
é um máximo local, então , o que faz com que . - Então,
porque .
- Se
-
Para
(pela esquerda): - Ainda considerando
como um máximo local, . - Mas agora
, então .
- Ainda considerando
Passo 5
Para um mínimo local, o raciocínio é semelhante:
-
Para
(pela direita): -
, então .
-
-
Para
(pela esquerda): - Ainda
, mas , então .
- Ainda
Passo 6
Agora, como a derivada
existe, os limites pelas direitas e esquerdas devem ser iguais. Ou seja:
De
e
, concluímos que esses limites devem ambos ser iguais a zero para satisfazer a igualdade necessária. Portanto,
.
Resposta
Logo, a derivada de
em
é zero, ou seja,
.