Se uma função troca de sinal em
, então a integral
x̣ não é uma mais uma área. No entanto, podemos usar a integral para calcular a área da região
compreendida entre o gráfico e o eixo
.
(a)
, para
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a área da região entre o gráfico da função
e o eixo
no intervalo de
de
a
. A ideia é usar integrais para encontrar essa área, mesmo que a função troque de sinal nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde a função
muda de sinal no intervalo
. Isso acontece nos pontos onde
.
Vamos resolver:
Então, as soluções são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde a função se anula, vamos dividir o intervalo
em partes onde
é positiva ou negativa:
-
Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
Passo 4
Para calcular a área, vamos integrar o valor absoluto de
em cada um desses intervalos e depois somar os resultados.
A antiderivada de
é:
Agora, calculamos cada integral:
- Intervalo
- é negativa:
- Interval
- é positiva:
- Interval
- é negativa:
Resposta
A área total da região
é: