Se uma função troca de sinal em [a, b], então a integral integrala^b f(x) x̣ não é uma mais uma área. No entanto, podemos usar a integral para calcular a área da região S compreendida entre o gráfico e o eixo O x.
(a) f(x)=-x^2-2 x, para -3 <= x <= 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a área da região entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de de a . A ideia é usar integrais para encontrar essa área, mesmo que a função troque de sinal nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde a função -f(x) = -x^2 - 2x = 0 -x(x + 2) = 0 muda de sinal no intervalo . Isso acontece nos pontos onde .
Vamos resolver:
Então, as soluções são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde a função se anula, vamos dividir o intervalo f(-3) = -(-3)^2 - 2(-3) = -9 + 6 = -3 (negativa) em partes onde f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 (positiva) é positiva ou negativa:
  1. Intervalo f(1) = -(1)^2 - 2(1) = -1 - 2 = -3 (negativa) :
    • Escolha :
  2. Intervalo :
    • Escolha :
  3. Intervalo :
    • Escolha :

Passo 4

Para calcular a área, vamos integrar o valor absoluto de integral f(x) , dx = -13x^3 - x^2 + C em cada um desses intervalos e depois somar os resultados.
A antiderivada de Área1 = integral-3^-2 (-f(x)) , dx = integral-3^-2 (x^2 + 2x) , dx = [ 13x^3 + x^2 ]-3^-2 = ( 13(-2)^3 + (-2)^2 ) - ( 13(-3)^3 + (-3)^2 ) = ( -83 + 4 ) - ( -9 + 9 ) = 43 é:
Área2 = integral-2^0 f(x) , dx = [ -13x^3 - x^2 ]-2^0 = ( 0 ) - ( -13(-2)^3 - (-2)^2 ) = 0 - ( 83 - 4 ) = 43
Agora, calculamos cada integral:
  1. Intervalo Área3 = integral0^2 (-f(x)) , dx = integral0^2 (x^2 + 2x) , dx = [ 13x^3 + x^2 ]0^2 = ( 83 + 4 ) - 0 = 203 - é negativa:
Á
  1. Interval - é positiva:
Á
  1. Interval - é negativa:
Á

Resposta

A área total da região Área = Área1 + Área2 + Área3 = 43 + 43 + 203 = 283 unidades de área é:
ÁÁÁÁá

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