Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
(d) Use o teste de comparação para limitar a série e mostrar que sua soma será menor do que 90.
(d) Use o teste de comparação para limitar a série e mostrar que sua soma será menor do que 90.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente considerar uma série onde cada termo é o inverso de inteiros positivos que não têm o dígito 0 na sua representação em base 10. Ou seja, números como 1, 2, …, 9, 11, 12, …, 99, 111, etc. A tarefa é usar o teste de comparação para limitar a soma dessa série e mostrar que ela é menor que 90. Vamos precisar entender como funciona o teste de comparação e aplicar ele direitinho nessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste de comparação. Esse teste serve para comparar a nossa série com outra série que a gente já conhece a soma. Se a série que a gente está estudando tem termos menores ou iguais aos da série conhecida, e essa série conhecida converge (ou seja, tem soma finita), então a nossa série também converge e a soma dela é menor ou igual à soma da série conhecida.
Passo 3
Agora, vamos identificar quantos números têm n dígitos sem nenhum 0. Para um número de n dígitos sem 0, cada dígito pode ser de 1 a 9. Então, para cada posição, temos 9 opções. Assim, o total de números com n dígitos sem 0 é
.
Passo 4
Para cada número com n dígitos, o menor valor que ele pode ter é
. Por exemplo, para n=2, o menor número é 10, mas como não pode ter 0, o menor válido é 11.
Passo 5
Então, cada termo da nossa série é o inverso de um número maior ou igual a
. Ou seja, cada termo é menor ou igual a
.
Passo 6
Vamos agora construir uma série de comparação. Sabemos que há
números com n dígitos sem 0, e cada termo deles é no máximo
. Então, a soma dos termos com n dígitos sem 0 é no máximo:
Passo 7
Agora, somamos esses valores para todos os n a partir de 1:
Essa é uma série geométrica onde a razão
, que é menor que 1, então sabemos que ela converge.
Passo 8
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde
é o primeiro termo. Aqui, o primeiro termo é 9, então:
Resposta
Usando o teste de comparação, mostramos que a soma da série é menor que 90.
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