Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar uma equação diferencial que é de variáveis separáveis. A equação dada é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e separação de variáveis para resolver isso. Precisaremos reorganizar a equação para separar as partes que envolvem
das que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
e
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, para separar as variáveis
e
, vamos dividir ambos os lados por
:
Dessa forma, as variáveis estão separadas: termos com
de um lado e termos com
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Passo 5
Juntando as integrais e simplificando a constante:
Onde
é a constante de integração geral. Se preferir, pode isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
ou, isolando
:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
(d) Use o teste de comparação para limitar a série e mostrar que sua soma será menor do que 90.
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