Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar uma equação diferencial que é de variáveis separáveis. A equação dada é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e separação de variáveis para resolver isso. Precisaremos reorganizar a equação para separar as partes que envolvem das que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar e :
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, para separar as variáveis e , vamos dividir ambos os lados por :
Dessa forma, as variáveis estão separadas: termos com de um lado e termos com do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:

Passo 5

Juntando as integrais e simplificando a constante:
Onde é a constante de integração geral. Se preferir, pode isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou, isolando :
Onde é uma constante arbitrária.

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Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
(d) Use o teste de comparação para limitar a série e mostrar que sua soma será menor do que 90.
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