Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar uma equação diferencial de variáveis separáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e queremos separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação está escrita corretamente. Note que ambos os termos têm
, o que sugere que talvez haja um erro de digitação e um dos termos devesse ter
. Supondo que o segundo termo seja
, a equação fica:
Isso faz mais sentido para termos uma equação diferencial de variáveis separáveis.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Simplificando as expressões trigonométricas:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Podemos reescrever isso como:
Mas para facilitar a integração, vamos reorganizar de forma que todas as funções de
fiquem de um lado e as de
do outro:
Ainda assim, parece complicado. Vamos tentar outra abordagem: integrar diretamente após separar as variáveis.
Passo 5
Retomando a equação simplificada:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos leva a:
Agora, podemos separar as variáveis:
Lembrando que
e
, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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