Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar uma equação diferencial de variáveis separáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e queremos separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação está escrita corretamente. Note que ambos os termos têm , o que sugere que talvez haja um erro de digitação e um dos termos devesse ter . Supondo que o segundo termo seja , a equação fica:
Isso faz mais sentido para termos uma equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Simplificando as expressões trigonométricas:
Lembrando que , podemos reescrever:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis e :
Podemos reescrever isso como:
Mas para facilitar a integração, vamos reorganizar de forma que todas as funções de fiquem de um lado e as de do outro:
Ainda assim, parece complicado. Vamos tentar outra abordagem: integrar diretamente após separar as variáveis.

Passo 5

Retomando a equação simplificada:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a:
Agora, podemos separar as variáveis:
Lembrando que e , temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Sabemos que , então:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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