Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é de variáveis separáveis. A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial e vamos precisar separar as variáveis e para integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Para isso, vamos rearranjar a equação para que tudo envolvendo fique de um lado e tudo envolvendo do outro. Multiplicando ambos os lados por e dividindo por , temos:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de é uma integral básica que conhecemos:
Do mesmo jeito, a integral de é:

Passo 4

Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar essa expressão agrupando as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
(d) Use o teste de comparação para limitar a série e mostrar que sua soma será menor do que 90.