Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é de variáveis separáveis. A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial e vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos rearranjar a equação para que tudo envolvendo
fique de um lado e tudo envolvendo
do outro. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
, temos:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de
é uma integral básica que conhecemos:
Do mesmo jeito, a integral de
é:
Passo 4
Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar essa expressão agrupando as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
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Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
(d) Use o teste de comparação para limitar a série e mostrar que sua soma será menor do que 90.
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