Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
(b) Obtenha o número de termos (parcelas) contidos no grupo
.
(b) Obtenha o número de termos (parcelas) contidos no grupo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série onde cada termo é o recíproco de um número inteiro positivo que não possui o dígito 0 na sua representação na base 10. O que queremos descobrir é quantos termos existem em um grupo específico chamado
.
Aqui, o
representa o grupo de termos que correspondem a números com exatamente
dígitos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre contagem combinatória, que nos ajuda a contar de maneira organizada quantas opções temos em certas situações.
Passo 2
Vamos pensar em como formar números de exatamente
dígitos sem usar o dígito 0.
-
Primeiro Dígito: O primeiro dígito de um número não pode ser 0 (pois, por exemplo, 0123 não é realmente um número de 4 dígitos). Então, para o primeiro dígito, temos 9 opções (1 a 9).
-
Demais Dígitos: Para cada um dos outros
dígitos, podemos usar qualquer número de 1 a 9 (já que 0 não é permitido). Portanto, para cada um desses dígitos, temos também 9 opções.
Passo 3
Para encontrar o total de números de
dígitos sem o dígito 0, multiplicamos o número de opções para cada dígito:
Aqui,
significa 9 elevado à potência de
, ou seja, multiplicamos 9 por ele mesmo
vezes.
Resposta
O número de termos contidos no grupo
é
.
Exercícios relacionados
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:
Encontre
e
. Para quais valores de
a curva é côncava para cima?
Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
© Use o fato de que cada termo do grupo é menor do que
, exceto para o grupo
, para provar que
.
© Use o fato de que cada termo do grupo