Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de em relação a . Além disso, precisamos descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima. Vamos usar derivadas paramétricas para isso, já que e estão expressos em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Como e estão em função de , usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas:
Calculando e :
Agora, substituímos na fórmula da derivada:
Podemos simplificar usando a identidade :

Passo 3

Agora vamos encontrar a segunda derivada, . Para isso, vamos derivar em relação a e depois dividir por :
Primeiro, derivamos :
Agora, dividimos por :
Simplificando:
Usando novamente :

Passo 4

Para determinar quando a curva é côncava para cima, precisamos verificar quando a segunda derivada é positiva:
Isso ocorre quando o denominador é negativo, já que o numerador é negativo:
No intervalo , é negativa quando .

Resposta

A primeira derivada é , a segunda derivada é . A curva é côncava para cima quando .

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