Encontre
e
. Para quais valores de
a curva é côncava para cima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de
em relação a
. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de
a curva é côncava para cima. Vamos usar derivadas paramétricas para isso, já que
e
estão expressos em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Como
e
estão em função de
, usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas:
Calculando
e
:
Agora, substituímos na fórmula da derivada:
Podemos simplificar usando a identidade
:
Passo 3
Agora vamos encontrar a segunda derivada,
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e depois dividir por
:
Primeiro, derivamos
:
Agora, dividimos por
:
Simplificando:
Usando novamente
:
Passo 4
Para determinar quando a curva é côncava para cima, precisamos verificar quando a segunda derivada
é positiva:
Isso ocorre quando o denominador é negativo, já que o numerador é negativo:
No intervalo
,
é negativa quando
.
Resposta
A primeira derivada é
, a segunda derivada é
. A curva é côncava para cima quando
.
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, exceto para o grupo
, para provar que
.
© Use o fato de que cada termo do grupo
Integrar as equações diferenciais homogêneas.