Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado, que é . A curva está definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da tangente, e depois a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo nas equações paramétricas:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas e .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas em :

Passo 5

A inclinação da tangente é dada por , que pode ser calculada como:
Então, a inclinação da tangente no ponto é .

Passo 6

Agora que temos a inclinação e um ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar para a forma geral da equação:

Resposta

A equação da tangente à curva no ponto correspondente a é:

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