Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado, que é
. A curva está definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da tangente, e depois a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando
. Substituindo
nas equações paramétricas:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas
e
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas em
:
Passo 5
A inclinação da tangente é dada por
, que pode ser calculada como:
Então, a inclinação da tangente no ponto
é
.
Passo 6
Agora que temos a inclinação
e um ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar para a forma geral da equação:
Resposta
A equação da tangente à curva no ponto correspondente a
é:
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e
. Para quais valores de
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