Considere a série infinita . Mostre que o Teste da razão falha para essa série.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série infinita . O objetivo é mostrar que o Teste da Razão não funciona para essa série. Para isso, vamos usar o que a teoria nos ensina sobre o Teste da Razão e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste serve para determinar se uma série converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Matemáticamente, isso fica assim:
Depois de achar esse limite , temos três possibilidades:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da nossa série. Aqui, o termo geral é:
E o próximo termo será:

Passo 4

Vamos calcular a razão entre e :
Simplificando a expressão no expoente:
Então, a razão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando tende ao infinito. Note que alterna entre e dependendo se é par ou ímpar. Então:
ééí
Isso significa que a razão entre os termos alterna entre e conforme aumenta. Portanto, o limite não existe de forma única porque a sequência não converge para um único valor.

Resposta

O Teste da Razão falha para a série porque o limite da razão entre termos consecutivos não existe, alternando continuamente entre e .

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Um carro de corrida está fazendo uma curva circular de raio com velocidade de módulo constante em uma pista inclinada. Existe uma certa velocidade na qual o atrito não é necessário para manter o carro na pista na curva. (Esta é a velocidade que o carro deve viajar se houver uma mancha de óleo na pista, por exemplo.) . Considere o eixo x como direção horizontal e o eixo y como direção vertical.
(a) [1,5 pts] Desenhe um diagrama de corpo livre mostrando as forças exercidas no carro quando está se movendo na velocidade (a.1) (a.2) ,
(a.3) .
Você joga uma bola em um ângulo de acima da horizontal em uma parede a de distância. A velocidade inicial da bola é , e deixa sua mão a uma altura de do solo.
(a) Quanto tempo a bola leva para chegar à parede?
Determine se a série
é convergente ou divergente.
Resolva as EDO(b) ;