Considere a série infinita . Mostre que o Teste da razão falha para essa série.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série infinita . O objetivo é mostrar que o Teste da Razão não funciona para essa série. Para isso, vamos usar o que a teoria nos ensina sobre o Teste da Razão e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste serve para determinar se uma série converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Matemáticamente, isso fica assim:
Depois de achar esse limite L, temos três possibilidades:
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos da nossa série. Aqui, o termo geral é:
Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando n tende ao infinito. Note que (-1)^n alterna entre 1 e -1 dependendo se n é par ou ímpar. Então:
4^(-1)^n2 = 42 = 2 & se n é par 1/42 = 18 & se n é ímpar ééí
Isso significa que a razão entre os termos alterna entre 2 e 18 conforme n aumenta. Portanto, o limite L não existe de forma única porque a sequência não converge para um único valor.
Resposta
O Teste da Razão falha para a série sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n porque o limite da razão entre termos consecutivos não existe, alternando continuamente entre 2 e 18.