Considere a série infinita sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n. Mostre que o Teste da razão falha para essa série.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série infinita sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n. O objetivo é mostrar que o Teste da Razão não funciona para essa série. Para isso, vamos usar o que a teoria nos ensina sobre o Teste da Razão e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste serve para determinar se uma série converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Matemáticamente, isso fica assim:
L = limn to infty | an+1an |
Depois de achar esse limite L, temos três possibilidades:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da nossa série. Aqui, o termo geral é:
an = 12^n+1+(-1)^n
E o próximo termo será:
an+1 = 12^(n+1)+1+(-1)^n+1 = 12^n+2+(-1)^n+1

Passo 4

Vamos calcular a razão entre an+1 e an:
an+1an = 12^n+2+(-1)^n+112^n+1+(-1)^n = 2^n+1+(-1)^n2^n+2+(-1)^n+1 = 2^-1 + (-1)^n - (-1)^n+1
Simplificando a expressão no expoente:
-1 + (-1)^n - (-1)^n+1 = -1 + (-1)^n + (-1)^n = -1 + 2(-1)^n
Então, a razão fica:
an+1an = 2^-1 + 2(-1)^n = 2^2(-1)^n2 = 4^(-1)^n2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando n tende ao infinito. Note que (-1)^n alterna entre 1 e -1 dependendo se n é par ou ímpar. Então:
4^(-1)^n2 = 42 = 2 & se n é par 1/42 = 18 & se n é ímpar ééí
Isso significa que a razão entre os termos alterna entre 2 e 18 conforme n aumenta. Portanto, o limite L não existe de forma única porque a sequência não converge para um único valor.

Resposta

O Teste da Razão falha para a série sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n porque o limite da razão entre termos consecutivos não existe, alternando continuamente entre 2 e 18.

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