Considere a série infinita . Mostre que o Teste da razão falha para essa série.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série infinita . O objetivo é mostrar que o Teste da Razão não funciona para essa série. Para isso, vamos usar o que a teoria nos ensina sobre o Teste da Razão e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste serve para determinar se uma série converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Matemáticamente, isso fica assim:
Depois de achar esse limite , temos três possibilidades:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos da nossa série. Aqui, o termo geral é:
E o próximo termo será:
Passo 4
Vamos calcular a razão entre e :
Simplificando a expressão no expoente:
Então, a razão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando tende ao infinito. Note que alterna entre e dependendo se é par ou ímpar. Então:
ééí
Isso significa que a razão entre os termos alterna entre e conforme aumenta. Portanto, o limite não existe de forma única porque a sequência não converge para um único valor.
Resposta
O Teste da Razão falha para a série porque o limite da razão entre termos consecutivos não existe, alternando continuamente entre e .