Determine se a série sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot(3 n-2)
é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre testes de convergência de séries infinitas, e a gente vai precisar usar o Teste da Razão pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar se uma série converge ou diverge olhando pro limite do quociente entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste não dá resposta.

Passo 3

Vamos definir o termo geral da série como an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2(n+1)-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot(3(n+1)-2) . Agora, vamos achar , que é o próximo termo:

Passo 4

Agora, calculamos o quociente an+1an = 2(n+1)-13(n+1)-2 = 2n + 13n + 1 :

Passo 5

Vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty 2n + 13n + 1 = 23 tende ao infinito:

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

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