Considere a série de números reais
. Suponha que existe uma sequência
tal que
e
. A série
é convergente? Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma
. Foi dada uma outra sequência
que é menor ou igual a cada
e que tende a um valor positivo
quando
vai para o infinito. Nosso objetivo é descobrir se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar o que significa uma série convergir. Uma série
converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Vamos olhar para a sequência
. Sabemos que
para todo
, e que
. Isso significa que, para termos grandes de
, os
se aproximam de um valor positivo
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar do Teste da Comparação para séries. Esse teste diz que se
é uma série que diverge e
para todo
, então
também diverge.
Passo 5
Vamos verificar a série
. Sabemos que
. Para uma série
, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Como
tende a
, os termos não estão indo para zero.
Passo 6
Então, a série
diverge. E como
para todo
, pelo Teste da Comparação, a série
também diverge.
Resposta
A série
não é convergente; ela diverge.
Exercícios relacionados
Determine o domínio da série dada por:
Determine o domínio da série dada por:
Considere as séries de números reais
tais que
. Além disso, suponha que existe uma função
contínua, positiva e decrescente tal que
e
é convergente. Prove que: a série
é convergente.
Seja uma sequência de números reais positivos
tal que
. Mostre que a série
é convergente?