Considere a série de números reais sumn=1^+infty an. Suponha que existe uma sequência bn tal que 0 e lim n +infty bn=b>0. A série sumn=1^+infty an é convergente? Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma sumn=1^+infty an. Foi dada uma outra sequência bn que é menor ou igual a cada an e que tende a um valor positivo b quando n vai para o infinito. Nosso objetivo é descobrir se a série sumn=1^+infty an converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar o que significa uma série convergir. Uma série sum an converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos olhar para a sequência bn. Sabemos que 0 < bn <= an para todo n, e que limn +infty bn = b > 0. Isso significa que, para termos grandes de n, os bn se aproximam de um valor positivo b.

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teste da Comparação para séries. Esse teste diz que se sum bn é uma série que diverge e an >= bn para todo n, então sum an também diverge.

Passo 5

Vamos verificar a série sum bn. Sabemos que limn +infty bn = b > 0. Para uma série sum bn, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Como bn tende a b > 0, os termos não estão indo para zero.

Passo 6

Então, a série sum bn diverge. E como an >= bn para todo n, pelo Teste da Comparação, a série sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty an não é convergente; ela diverge.

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