Considere a série de números reais . Suponha que existe uma sequência tal que e . A série é convergente? Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma . Foi dada uma outra sequência que é menor ou igual a cada e que tende a um valor positivo quando vai para o infinito. Nosso objetivo é descobrir se a série converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar o que significa uma série convergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos olhar para a sequência . Sabemos que para todo , e que . Isso significa que, para termos grandes de , os se aproximam de um valor positivo .

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teste da Comparação para séries. Esse teste diz que se é uma série que diverge e para todo , então também diverge.

Passo 5

Vamos verificar a série . Sabemos que . Para uma série , se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Como tende a , os termos não estão indo para zero.

Passo 6

Então, a série diverge. E como para todo , pelo Teste da Comparação, a série também diverge.

Resposta

A série não é convergente; ela diverge.

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Determine o domínio da série dada por:
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Considere as séries de números reais tais que . Além disso, suponha que existe uma função contínua, positiva e decrescente tal que e é convergente. Prove que: a série é convergente.
Seja uma sequência de números reais positivos tal que . Mostre que a série é convergente?