Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos determinar o domínio da série infinita . Isso significa encontrar todos os valores de para os quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para identificar o intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na série. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Seja , então precisamos calcular:
Substituindo e :
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
L = limk to infty | 2^k cdot 2 cdot x^k cdot x2^k cdot x^k | = limk to infty |2 cdot x| = 2|x|
Passo 4
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se 2|x| < 1 . Então, estabelecemos a desigualdade:
|x| < 12
Resolvendo para :
Resposta
O domínio da série é o conjunto de todos os números reais tais que .