Determine o domínio da série dada por: sumk=1^+infty 2^k x^k

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos determinar o domínio da série infinita . Isso significa encontrar todos os valores de para os quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para identificar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na série. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Seja L = limk to infty | ak+1ak | , então precisamos calcular:
L = limk to infty | 2^k+1 x^k+12^k x^k |
Substituindo e :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
L = limk to infty | 2^k cdot 2 cdot x^k cdot x2^k cdot x^k | = limk to infty |2 cdot x| = 2|x|

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se 2|x| < 1 . Então, estabelecemos a desigualdade:
|x| < 12
Resolvendo para :

Resposta

O domínio da série é o conjunto de todos os números reais tais que .

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