Determine o domínio da série dada por:

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos determinar o domínio da série infinita . Isso significa encontrar todos os valores de para os quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para identificar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na série. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Seja , então precisamos calcular:
Substituindo e :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se . Então, estabelecemos a desigualdade:
Resolvendo para :

Resposta

O domínio da série é o conjunto de todos os números reais tais que .

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A série é convergente ou divergente? Justifique.
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Considere a série de números reais . Suponha que existe uma sequência tal que e . A série é convergente? Justifique sua resposta!