Considere as séries de números reais sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn tais que 0 <= an <= bn. Além disso, suponha que existe uma função f: R R contínua, positiva e decrescente tal que f(n)=bn, lim n +infty f(n)=0 e integral1^+infty f(x) d x é convergente. Prove que: a série sumn=1^+infty bn é convergente.

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. Temos duas séries infinitas de números reais: e , onde cada termo é menor ou igual a ( ). Além disso, existe uma função que é contínua, positiva, decrescente, e que quando a gente coloca nela, ela dá exatamente . Sabemos também que o limite de quando vai para o infinito é zero, e que a integral de de 1 até o infinito é convergente. Nosso objetivo aqui é provar que a série também converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito chamado Teste da Integral. Esse teste é super útil para séries que envolvem termos que podem ser ligados a uma função contínua. O teste diz que se a função é contínua, positiva e decrescente para maior ou igual a algum número , então a série e a integral vão tanto convergir quanto divergir juntas. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

No nosso caso específico, a gente tem que . A função já satisfaz todas as condições do Teste da Integral: é contínua, positiva e decrescente. Além disso, sabemos que a integral converge. Aplicando o Teste da Integral, concluímos que a série também deve convergir.

Resposta

A série é convergente.

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