Considere as séries de números reais
tais que
. Além disso, suponha que existe uma função
contínua, positiva e decrescente tal que
e
é convergente. Prove que: a série
é convergente.
Passo 1
Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. Temos duas séries infinitas de números reais:
e
, onde cada termo
é menor ou igual a
(
). Além disso, existe uma função
que é contínua, positiva, decrescente, e que quando a gente coloca
nela, ela dá exatamente
. Sabemos também que o limite de
quando
vai para o infinito é zero, e que a integral de
de 1 até o infinito é convergente. Nosso objetivo aqui é provar que a série
também converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito chamado Teste da Integral. Esse teste é super útil para séries que envolvem termos que podem ser ligados a uma função contínua. O teste diz que se a função
é contínua, positiva e decrescente para
maior ou igual a algum número
, então a série
e a integral
vão tanto convergir quanto divergir juntas. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
No nosso caso específico, a gente tem que
. A função
já satisfaz todas as condições do Teste da Integral: é contínua, positiva e decrescente. Além disso, sabemos que a integral
converge. Aplicando o Teste da Integral, concluímos que a série
também deve convergir.
Resposta
A série
é convergente.