Determine o domínio da série dada por: sumk=1^+infty x^kk^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da série . Aqui, estamos lidando com séries infinitas, especificamente analisando para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o domínio de uma série. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Ou seja, para quais valores de a soma infinita dessa série resulta em um número finito.

Passo 3

Para determinar a convergência da série, podemos utilizar o Teste da Razão, que é um dos critérios de convergência para séries infinitas. O Teste da Razão nos ajuda a encontrar o intervalo de onde a série converge absolutamente.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
onde L = limk to infty | x^k+1/(k+1)^3x^k/k^3 | = limk to infty | x | ( kk+1 )^3 . Assim,

Passo 5

Simplificamos o limite:
L = |x| cdot limk to infty ( kk+1 )^3 = |x| cdot 1 = |x|
Segundo o Teste da Razão, a série converge se , ou seja, se .

Passo 6

Além disso, precisamos verificar os casos onde . Quando , a série se torna , que é uma série p com , conhecida por convergir.
Quando , a série se torna , que também converge absolutamente porque a série de termos absolutos converge.

Resposta

O domínio da série é .

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