Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da série . Aqui, estamos lidando com séries infinitas, especificamente analisando para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o domínio de uma série. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Ou seja, para quais valores de a soma infinita dessa série resulta em um número finito.
Passo 3
Para determinar a convergência da série, podemos utilizar o Teste da Razão, que é um dos critérios de convergência para séries infinitas. O Teste da Razão nos ajuda a encontrar o intervalo de onde a série converge absolutamente.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
onde . Assim,
Passo 5
Simplificamos o limite:
Segundo o Teste da Razão, a série converge se , ou seja, se .
Passo 6
Além disso, precisamos verificar os casos onde . Quando , a série se torna , que é uma série p com , conhecida por convergir.
Quando , a série se torna , que também converge absolutamente porque a série de termos absolutos converge.