Seja uma sequência de números reais positivos tal que . Mostre que a série é convergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma sequência de números reais positivos que segue a regra . A gente precisa mostrar que a série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries e sequência, especialmente o teste da razão que ajuda a verificar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Sabemos que cada termo seguinte é o termo anterior multiplicado por . Vamos tentar expressar em termos de para ver um padrão.

Passo 3

A gente pode escrever:
Parece que os coeficientes estão formando uma sequência específica. Porém, para simplificar, vamos aplicar o teste da razão diretamente.

Passo 4

O teste da razão diz que, para a série , se
e:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite.

Passo 5

Calculando a razão:
Agora, vamos tirar o limite quando vai para o infinito:
Então, .

Passo 6

Como o limite é menor que 1, segundo o teste da razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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