Seja uma sequência de números reais positivos an tal que an+1=an(12+1n). Mostre que a série sumn=1^+infty an é convergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma sequência de números reais positivos an que segue a regra an+1 = an(12 + 1n). A gente precisa mostrar que a série sumn=1^+infty an converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries e sequência, especialmente o teste da razão que ajuda a verificar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência an se comporta. Sabemos que cada termo seguinte é o termo anterior multiplicado por (12 + 1n). Vamos tentar expressar an em termos de a1 para ver um padrão.

Passo 3

A gente pode escrever:
a2 = a1(12 + 11) = a1 cdot 32
a3 = a2(12 + 12) = a2 cdot 1 = a1 cdot 32 cdot 1
a4 = a3(12 + 13) = a3 cdot 56 = a1 cdot 32 cdot 1 cdot 56
Parece que os coeficientes estão formando uma sequência específica. Porém, para simplificar, vamos aplicar o teste da razão diretamente.

Passo 4

O teste da razão diz que, para a série sum an, se
limn to infty | an+1an | = L
e:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite.

Passo 5

Calculando a razão:
an+1an = an(12 + 1n)an = 12 + 1n
Agora, vamos tirar o limite quando n vai para o infinito:
limn to infty (12 + 1n) = 12 + 0 = 12
Então, L = 12 < 1.

Passo 6

Como o limite L = 12 é menor que 1, segundo o teste da razão, a série sumn=1^+infty an converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty an é convergente.

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