Seja uma sequência de números reais positivos tal que . Mostre que a série é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma sequência de números reais positivos que segue a regra . A gente precisa mostrar que a série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries e sequência, especialmente o teste da razão que ajuda a verificar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Sabemos que cada termo seguinte é o termo anterior multiplicado por . Vamos tentar expressar em termos de para ver um padrão.
Passo 3
A gente pode escrever:
Parece que os coeficientes estão formando uma sequência específica. Porém, para simplificar, vamos aplicar o teste da razão diretamente.
Passo 4
O teste da razão diz que, para a série , se
e:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite.
Passo 5
Calculando a razão:
an+1an = an(12 + 1n)an = 12 + 1n
Agora, vamos tirar o limite quando n vai para o infinito:
limn to infty (12 + 1n) = 12 + 0 = 12
Então, L = 12 < 1.
Passo 6
Como o limite L = 12 é menor que 1, segundo o teste da razão, a série sumn=1^+infty anconverge.