Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre continuidade de funções de duas variáveis. A gente tem que descobrir onde a função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Queremos descobrir em quais pontos a função é contínua. A continuidade de uma função em significa que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar analisando os pontos onde . Nesses pontos, a função está definida como . Tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas nessas regiões (já que o denominador nunca é zero quando ). Portanto, é contínua em todos os pontos .

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .

Passo 5

Vamos calcular o limite de diferentes maneiras para ver se ele existe e é igual a zero.
  • Pela direção de :
    Se , então . Então, o limite nesse caminho é 0.
  • Pela direção de :
    Se , então . Novamente, o limite é 0.
  • Pela direção de :
    Substituindo na função:
    Então, o limite nesse caminho é .

Passo 6

Vimos que ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes: alguns caminhos dão limite 0 e outros dão . Isso significa que o limite geral quando não existe, pois depende do caminho escolhido.

Passo 7

Como o limite de em não existe, ele não é igual ao valor da função nesse ponto ( ). Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos diferentes de . No ponto , a função não é contínua.

Exercícios relacionados

Considere uma série de potências na qual os coeficientes se repetem ciclicamente, , onde é qualquer e é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.
Mostre que (observe que a função só está definida para ).
Determine o domínio das funções abaixo:
Mostre que, se então .