Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre continuidade de funções de duas variáveis. A gente tem que descobrir onde a função
é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Queremos descobrir em quais pontos
a função
é contínua. A continuidade de uma função em
significa que o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar analisando os pontos onde
. Nesses pontos, a função está definida como
. Tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas nessas regiões (já que o denominador nunca é zero quando
). Portanto,
é contínua em todos os pontos
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
.
Passo 5
Vamos calcular o limite de diferentes maneiras para ver se ele existe e é igual a zero.
-
Pela direção de
: Se, então . Então, o limite nesse caminho é 0. -
Pela direção de
: Se, então . Novamente, o limite é 0. -
Pela direção de
: Substituindona função: Então, o limite nesse caminho é.
Passo 6
Vimos que ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes: alguns caminhos dão limite 0 e outros dão
. Isso significa que o limite geral quando
não existe, pois depende do caminho escolhido.
Passo 7
Como o limite de
em
não existe, ele não é igual ao valor da função nesse ponto (
). Portanto, a função
não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
diferentes de
. No ponto
, a função não é contínua.
Exercícios relacionados
Considere uma série de potências
na qual os coeficientes se repetem ciclicamente,
, onde
é qualquer e
é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.
Mostre que
(observe que a função só está definida para
).
Determine o domínio das funções abaixo:
Mostre que, se
então
.