Considere a série
sumn=2^+infty(-1)^n 1ln n
e as seguintes afirmações:
C) É uma série divergente.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: a gente tem a série
sumn=2^+infty (-1)^n 1ln n
e a afirmação C diz que essa série é divergente. Hoje vamos dar uma olhada em séries alternadas para ver se essa afirmação tá certa ou não. Pra resolver isso, vamos precisar conhecer o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar se séries que mudam de sinal (como essa) convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante. No nosso caso, o termo (-1)^n faz isso acontecer.

Passo 3

Agora, o Teste da Série Alternada diz que, se tivermos uma série da forma
sumn=1^+infty (-1)^n an
onde an > 0, e se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an vão diminuindo: an+1 <= an.
  2. O limite de an quando n vai para o infinito é zero: limn to infty an = 0.
Se as duas condições forem verdadeiras, a série converge. Mas se pelo menos uma delas não for, a série pode ser divergente.

Passo 4

Aplicando isso à nossa série, temos:
an = 1ln n
Primeiro, vamos ver se os termos estão diminuindo. Como o logaritmo natural ln n aumenta conforme n cresce, então an = 1ln n de fato está diminuindo.

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite:
limn to infty 1ln n
Sabemos que ln n tende ao infinito quando n vai ao infinito, então 1ln n tende a zero:
limn to infty 1ln n = 0
Então, as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.

Passo 6

Como as condições são atendidas, de acordo com o Teste da Série Alternada, a nossa série
sumn=2^+infty (-1)^n 1ln n
converge.

Resposta

A afirmação C) está errada, porque a série converge.

Exercícios relacionados

Considere a série
sumn=2^+infty(13)^n
Podemos afirmar.
Escolha uma opção:
a.
sumn=2^+infty(13)^n=32
Considere a sequência
an=n^2+3 n-12 n^2+5
Podemos afirmar que
Escolha uma opção:
c .
lim n infty an=12
Seja f(x, y) = x^2 + 2xy.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de f com o plano y = m x, m em R. Esboce essas curvas.
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
e) f(x, y) = x^2 + y^2