Considere a série
e as seguintes afirmações:
C) É uma série divergente.
C) É uma série divergente.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: a gente tem a série
e a afirmação C diz que essa série é divergente. Hoje vamos dar uma olhada em séries alternadas para ver se essa afirmação tá certa ou não. Pra resolver isso, vamos precisar conhecer o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar se séries que mudam de sinal (como essa) convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante. No nosso caso, o termo
faz isso acontecer.
Passo 3
Agora, o Teste da Série Alternada diz que, se tivermos uma série da forma
onde
, e se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
vão diminuindo: . - O limite de
quando vai para o infinito é zero: .
Se as duas condições forem verdadeiras, a série converge. Mas se pelo menos uma delas não for, a série pode ser divergente.
Passo 4
Aplicando isso à nossa série, temos:
Primeiro, vamos ver se os termos estão diminuindo. Como o logaritmo natural
aumenta conforme
cresce, então
de fato está diminuindo.
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite:
Sabemos que
tende ao infinito quando
vai ao infinito, então
tende a zero:
Então, as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.
Passo 6
Como as condições são atendidas, de acordo com o Teste da Série Alternada, a nossa série
converge.
Resposta
A afirmação C) está errada, porque a série converge.
Exercícios relacionados
Considere a série
Podemos afirmar.
Escolha uma opção:
a.
Escolha uma opção:
a.
Considere a sequência
Podemos afirmar que
Escolha uma opção:
c .
Escolha uma opção:
c .
Seja
.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de com o plano
. Esboce essas curvas.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
e)
e)