Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o domínio máximo de definição e fazer um esboço das curvas de nível da função
. Para isso, vamos precisar saber sobre funções de duas variáveis, entender o que é o domínio de uma função e como identificar e desenhar curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está bem definida. Nesse caso, temos que os termos
e
são simplesmente quadrados de números reais.
Como o quadrado de qualquer número real sempre dá um número real (não tem nenhuma restrição, como divisão por zero ou raiz de número negativo), a função
está bem definida para todos os valores reais de
e
.
Passo 3
Agora, vamos para as curvas de nível. As curvas de nível de uma função de duas variáveis são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor qualquer
, a curva de nível é definida por:
Substituindo nossa função:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
. Portanto, para cada valor de
, temos um círculo diferente. Se
, a curva é simplesmente o ponto
.
Resposta
O domínio máximo de definição da função
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
. As curvas de nível dessa função são círculos centrados na origem com raio igual a
, onde
é uma constante positiva. Quando
, a curva de nível é apenas o ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de com o plano
. Esboce essas curvas.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de
Considere a série
e as seguintes afirmações:
C) É uma série divergente.
C) É uma série divergente.
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
a)
a)
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
e)
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