Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
e) f(x, y) = x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o domínio máximo de definição e fazer um esboço das curvas de nível da função . Para isso, vamos precisar saber sobre funções de duas variáveis, entender o que é o domínio de uma função e como identificar e desenhar curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está bem definida. Nesse caso, temos que os termos e são simplesmente quadrados de números reais.
Como o quadrado de qualquer número real sempre dá um número real (não tem nenhuma restrição, como divisão por zero ou raiz de número negativo), a função está bem definida para todos os valores reais de e .

Passo 3

Agora, vamos para as curvas de nível. As curvas de nível de uma função de duas variáveis são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor qualquer , a curva de nível é definida por:
Substituindo nossa função:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio . Portanto, para cada valor de , temos um círculo diferente. Se , a curva é simplesmente o ponto .

Resposta

O domínio máximo de definição da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . As curvas de nível dessa função são círculos centrados na origem com raio igual a , onde é uma constante positiva. Quando , a curva de nível é apenas o ponto .

Exercícios relacionados

Seja f(x, y) = x^2 + 2xy.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de f com o plano y = m x, m em R. Esboce essas curvas.
Considere a série
sumn=2^+infty(-1)^n 1ln n
e as seguintes afirmações:
C) É uma série divergente.
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
a) f(x, y, z) = x, c = 1
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
e) f(x, y, z) = x - y, c = 0, 1, 2