Seja f(x, y) = x^2 + 2xy.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de f com o plano y = m x, m em R. Esboce essas curvas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar onde o gráfico da função cruza o plano , onde é qualquer número real. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar substituir a equação do plano na da função e simplificar para achar a curva de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gráfico de . Essa equação representa uma superfície no espaço tridimensional onde, para cada par , temos um valor de igual a .

Passo 3

Agora, o plano dado é . Isso significa que todo ponto nesse plano satisfaz essa relação entre e . Para encontrar a interseção entre a superfície e o plano, vamos substituir na equação da superfície.

Passo 4

Substituindo na função , temos:
Simplificando:

Passo 5

A equação representa uma parábola que abre para cima se ou para baixo se . O valor de altera a “abertura” e a direção da parábola.

Passo 6

Para esboçar essas curvas, podemos considerar diferentes valores de :
  • Se , então , que é uma parábola padrão.
  • Se , então , uma parábola mais “fechada”.
  • Se , então , uma parábola invertida.
Cada valor de gera uma parábola diferente no espaço, todas com o eixo de simetria ao longo do eixo .

Resposta

A interseção do gráfico de com o plano é dado pela parábola para qualquer valor real de . Essas curvas são parábolas que variam na abertura e direção conforme o valor de .

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