Seja
.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de
com o plano
. Esboce essas curvas.
(b) Encontre a intersecção do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar onde o gráfico da função
cruza o plano
, onde
é qualquer número real. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar substituir a equação do plano na da função e simplificar para achar a curva de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gráfico de
. Essa equação representa uma superfície no espaço tridimensional onde, para cada par
, temos um valor de
igual a
.
Passo 3
Agora, o plano dado é
. Isso significa que todo ponto nesse plano satisfaz essa relação entre
e
. Para encontrar a interseção entre a superfície e o plano, vamos substituir
na equação da superfície.
Passo 4
Substituindo
na função
, temos:
Simplificando:
Passo 5
A equação
representa uma parábola que abre para cima se
ou para baixo se
. O valor de
altera a “abertura” e a direção da parábola.
Passo 6
Para esboçar essas curvas, podemos considerar diferentes valores de
:
- Se
, então , que é uma parábola padrão. - Se
, então , uma parábola mais “fechada”. - Se
, então , uma parábola invertida.
Cada valor de
gera uma parábola diferente no espaço, todas com o eixo de simetria ao longo do eixo
.
Resposta
A interseção do gráfico de
com o plano
é dado pela parábola
para qualquer valor real de
. Essas curvas são parábolas que variam na abertura e direção conforme o valor de
.