Considere a série
. Deduza que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série
e precisamos mostrar que o limite
. Isso envolve entender como as funções
e
crescem conforme
aumenta. Vamos precisar usar um pouco de lógica sobre crescimento de funções e algumas propriedades dos fatoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o fatorial. Para qualquer número inteiro positivo
, temos:
Então,
é o fatorial de
, que é:
Passo 3
Agora, vamos comparar o crescimento de
e
. Sabemos que fatoriais crescem muito rapidamente, mais rápido que exponenciais como
. Para formalizar isso, vamos estabelecer uma desigualdade que nos ajude a ver qual cresce mais rápido.
Passo 4
Observe que, em
, temos
termos multiplicados. A partir do termo
até
, todos esses termos são maiores ou iguais a
. Então, podemos dizer que:
Mas, para simplificar ainda mais, na verdade temos:
Isso porque cada um dos
termos é pelo menos
, então multiplicando
por si mesmo
vezes dá
.
Passo 5
Agora, vamos usar essa desigualdade para avaliar o limite:
Então, temos que:
Passo 6
Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito, porque o denominador cresce muito rapidamente. Portanto:
Resposta
Assim, concluímos que:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes inequações modulares:
Determine se a série é convergente ou divergente.
Resolva as seguintes inequações modulares:
Funções reais de uma variável real
- (1 PONTO) Calcule
e o domínio de , onde .
Determine se a série é convergente ou divergente.