Considere a série . Deduza que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos mostrar que o limite . Isso envolve entender como as funções e crescem conforme aumenta. Vamos precisar usar um pouco de lógica sobre crescimento de funções e algumas propriedades dos fatoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o fatorial. Para qualquer número inteiro positivo , temos:
Então, é o fatorial de , que é:

Passo 3

Agora, vamos comparar o crescimento de e . Sabemos que fatoriais crescem muito rapidamente, mais rápido que exponenciais como . Para formalizar isso, vamos estabelecer uma desigualdade que nos ajude a ver qual cresce mais rápido.

Passo 4

Observe que, em , temos termos multiplicados. A partir do termo até , todos esses termos são maiores ou iguais a . Então, podemos dizer que:
Mas, para simplificar ainda mais, na verdade temos:
Isso porque cada um dos termos é pelo menos , então multiplicando por si mesmo vezes dá .

Passo 5

Agora, vamos usar essa desigualdade para avaliar o limite:
Então, temos que:

Passo 6

Sabemos que tende a zero quando tende ao infinito, porque o denominador cresce muito rapidamente. Portanto:

Resposta

Assim, concluímos que:

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Resolva as seguintes inequações modulares:
Determine se a série é convergente ou divergente.
Resolva as seguintes inequações modulares:

Funções reais de uma variável real

  1. (1 PONTO) Calcule e o domínio de , onde .
Determine se a série é convergente ou divergente.