Considere a série sumn=1^infty n^n(2 n)!. Deduza que lim n infty n^n(2 n)!=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos mostrar que o limite . Isso envolve entender como as funções e crescem conforme aumenta. Vamos precisar usar um pouco de lógica sobre crescimento de funções e algumas propriedades dos fatoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o fatorial. Para qualquer número inteiro positivo m! = 1 times 2 times 3 times dots times m , temos:
(2n)! = 1 times 2 times 3 times dots times 2n
Então, é o fatorial de , que é:

Passo 3

Agora, vamos comparar o crescimento de e . Sabemos que fatoriais crescem muito rapidamente, mais rápido que exponenciais como . Para formalizar isso, vamos estabelecer uma desigualdade que nos ajude a ver qual cresce mais rápido.

Passo 4

Observe que, em (2n)! >= (n+1)^n , temos (2n)! >= n^n times n^n = n^2n termos multiplicados. A partir do termo até , todos esses termos são maiores ou iguais a . Então, podemos dizer que:
Mas, para simplificar ainda mais, na verdade temos:
Isso porque cada um dos termos é pelo menos , então multiplicando por si mesmo vezes dá .

Passo 5

Agora, vamos usar essa desigualdade para avaliar o limite:
n^n(2n)! <= n^nn^2n = 1n^n
Então, temos que:
limn to infty n^n(2n)! <= limn to infty 1n^n

Passo 6

Sabemos que limn to infty 1n^n = 0 tende a zero quando tende ao infinito, porque o denominador cresce muito rapidamente. Portanto:

Resposta

Assim, concluímos que:
limn infty n^n(2 n)! = 0

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