Resolva as seguintes inequações modulares:
Funções reais de uma variável real
- (1 PONTO) Calcule
e o domínio de
, onde
.
Passo 1
Vamos resolver a inequação
. Aqui estamos lidando com valores absolutos e uma fração. Para resolver, vamos analisar os pontos que fazem as expressões dentro dos valores absolutos serem zero e também o ponto que faz o denominador ser zero, dividindo assim a reta numérica em intervalos para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, identificamos os valores de
que tornam as expressões dentro dos valores absolutos iguais a zero e onde o denominador se anula:
-
quando -
quando - O denominador
quando
Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 3
Intervalo 1:
-
então -
então -
então é negativo
A inequação fica:
Como
, multiplicamos ambos os lados por
invertendo o sinal da inequação:
Expandindo o lado direito:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Resolvemos a inequação quadrática
. Calculando o discriminante:
Como
, a parábola não cruza o eixo
e, como o coeficiente de
é positivo, a expressão é sempre positiva. Portanto, a inequação é verdadeira para todo
.
Intervalo 2:
-
então -
então -
então é negativo
A inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por
(negativo), invertemos o sinal:
Expandindo o lado direito:
Leva todos os termos para o lado esquerdo:
Resolvemos
. Calculando as raízes:
As raízes são aproximadamente
e
. Como
, no intervalo
, a expressão
é negativa, então a inequação
é verdadeira para todo
.
Intervalo 3:
-
então -
então -
então é positivo
A inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo), mantém o sinal:
Expandindo o lado direito:
Leva todos os termos para o lado esquerdo:
Resolvendo
, lembramos das raízes
. No intervalo
,
, então a inequação é verdadeira para
.
Intervalo 4:
-
então -
então -
então é positivo
A inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo), mantém o sinal:
Expandindo o lado direito:
Leva todos os termos para o lado esquerdo:
Como já vimos que
para todo
, a inequação é verdadeira para todo
.
Resposta
A solução da inequação é
ou
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Considere a série
. Deduza que
Resolva as seguintes inequações modulares:
Determine se a série é convergente ou divergente.
Encontre a soma da série.