Resolva as seguintes inequações modulares:

Funções reais de uma variável real

  1. (1 PONTO) Calcule e o domínio de , onde .

Passo 1

Vamos resolver a inequação . Aqui estamos lidando com valores absolutos e uma fração. Para resolver, vamos analisar os pontos que fazem as expressões dentro dos valores absolutos serem zero e também o ponto que faz o denominador ser zero, dividindo assim a reta numérica em intervalos para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, identificamos os valores de que tornam as expressões dentro dos valores absolutos iguais a zero e onde o denominador se anula:
  • quando
  • quando
  • O denominador quando
Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 3

Intervalo 1:
  • então
  • então
  • então é negativo
A inequação fica:
Como , multiplicamos ambos os lados por invertendo o sinal da inequação:
Expandindo o lado direito:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Resolvemos a inequação quadrática . Calculando o discriminante:
Como , a parábola não cruza o eixo e, como o coeficiente de é positivo, a expressão é sempre positiva. Portanto, a inequação é verdadeira para todo .
Intervalo 2:
  • então
  • então
  • então é negativo
A inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por (negativo), invertemos o sinal:
Expandindo o lado direito:
Leva todos os termos para o lado esquerdo:
Resolvemos . Calculando as raízes:
As raízes são aproximadamente e . Como , no intervalo , a expressão é negativa, então a inequação é verdadeira para todo .
Intervalo 3:
  • então
  • então
  • então é positivo
A inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por (positivo), mantém o sinal:
Expandindo o lado direito:
Leva todos os termos para o lado esquerdo:
Resolvendo , lembramos das raízes . No intervalo , , então a inequação é verdadeira para .
Intervalo 4:
  • então
  • então
  • então é positivo
A inequação fica:
Multiplicando ambos os lados por (positivo), mantém o sinal:
Expandindo o lado direito:
Leva todos os termos para o lado esquerdo:
Como já vimos que para todo , a inequação é verdadeira para todo .

Resposta

A solução da inequação é ou . Ou seja:

Exercícios relacionados

Considere a série . Deduza que
Resolva as seguintes inequações modulares:
Determine se a série é convergente ou divergente.
Encontre a soma da série.