Resolva as seguintes inequações modulares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e como resolver desigualdades que envolvem produtos dessas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número representa a sua distância até zero na reta numérica, ou seja,
para qualquer número real
.
Na nossa inequação, temos dois valores absolutos:
e
. Vamos pensar em ambos como expressões independentes:
-
: distância de até . -
: distância de até .
Passo 3
Como estamos multiplicando esses dois valores absolutos e queremos que o produto seja maior que 3, precisamos considerar diferentes casos para resolver a inequação. Em geral, para resolver inequações com valores absolutos multiplicados, analisamos os intervalos onde cada valor absoluto muda de comportamento (ou seja, onde a expressão dentro do valor absoluto é zero).
Passo 4
Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos são zero:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
Vamos resolver a inequação em cada um desses intervalos.
Passo 5
Intervalo 1:
Aqui,
e
, então:
Substituindo na inequação:
Multiplicando:
Então:
Vamos resolver
. Primeiro, encontramos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são
e
. Como estamos no intervalo
, precisamos verificar se existe algum valor que satisfaça a desigualdade neste intervalo. Como a parábola
está acima do eixo em
, que é menor que -2, todos os valores nesse intervalo satisfazem a inequação.
Passo 6
Intervalo 2:
Neste intervalo,
e
, então:
Substituindo na inequação:
Multiplicando:
Então:
Agora, vamos analisar a inequação
. O discriminante dessa equação é
, que é negativo. Isso significa que a inequação
nunca é verdadeira, pois a expressão
é sempre positiva. Portanto, não há soluções neste intervalo.
Passo 7
Intervalo 3:
Aqui,
e
, então:
Substituindo na inequação:
Multiplicando:
Então:
Já resolvemos essa inequação e as soluções são
ou
. Como estamos no intervalo
, precisamos verificar se
ou
.
Calculando:
Como
, então, para
, a inequação é satisfeita.
Resposta
As solu��ões da inequação são:
Em forma aproximada:
Exercícios relacionados
Determine se a série é convergente ou divergente.
Resolva as seguintes inequações:
.
Considere a série
. Deduza que
Resolva as seguintes inequações modulares:
Funções reais de uma variável real
- (1 PONTO) Calcule
e o domínio de , onde .