Resolva as seguintes inequações modulares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e como resolver desigualdades que envolvem produtos dessas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número representa a sua distância até zero na reta numérica, ou seja, para qualquer número real .
Na nossa inequação, temos dois valores absolutos: e . Vamos pensar em ambos como expressões independentes:
  • : distância de até .
  • : distância de até .

Passo 3

Como estamos multiplicando esses dois valores absolutos e queremos que o produto seja maior que 3, precisamos considerar diferentes casos para resolver a inequação. Em geral, para resolver inequações com valores absolutos multiplicados, analisamos os intervalos onde cada valor absoluto muda de comportamento (ou seja, onde a expressão dentro do valor absoluto é zero).

Passo 4

Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos são zero:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
Vamos resolver a inequação em cada um desses intervalos.

Passo 5

Intervalo 1:
Aqui, e , então:
Substituindo na inequação:
Multiplicando:
Então:
Vamos resolver . Primeiro, encontramos as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são e . Como estamos no intervalo , precisamos verificar se existe algum valor que satisfaça a desigualdade neste intervalo. Como a parábola está acima do eixo em , que é menor que -2, todos os valores nesse intervalo satisfazem a inequação.

Passo 6

Intervalo 2:
Neste intervalo, e , então:
Substituindo na inequação:
Multiplicando:
Então:
Agora, vamos analisar a inequação . O discriminante dessa equação é , que é negativo. Isso significa que a inequação nunca é verdadeira, pois a expressão é sempre positiva. Portanto, não há soluções neste intervalo.

Passo 7

Intervalo 3:
Aqui, e , então:
Substituindo na inequação:
Multiplicando:
Então:
Já resolvemos essa inequação e as soluções são ou . Como estamos no intervalo , precisamos verificar se ou .
Calculando:
Como , então, para , a inequação é satisfeita.

Resposta

As solu��ões da inequação são:
ou .
Em forma aproximada:
ou .

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Determine se a série é convergente ou divergente.
Resolva as seguintes inequações: .
Considere a série . Deduza que
Resolva as seguintes inequações modulares:

Funções reais de uma variável real

  1. (1 PONTO) Calcule e o domínio de , onde .