Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty ln (n3 n+1)

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Divergência (também chamado de Teste do ). Esse teste verifica se o limite dos termos gerais da série é zero; se não for, a série diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite do termo geral da série quando limn to infty ln ( n3n + 1 ) tende ao infinito. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos simplificar o que está dentro do logaritmo:
n3n + 1 = n3n (1 + 13n) = 13 (1 + 13n)
Quando limn to infty 13 (1 + 13n) = 13 tende ao infinito, tende a zero, então:

Passo 4

Agora, aplicamos isso no logaritmo:
limn to infty ln ( n3n + 1 ) = ln ( 13 )
Sabemos que , que é um número constante diferente de zero.

Passo 5

Segundo o Teste da Divergência, se:
limn to infty an neq 0
então a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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