Então, a gente tem que analisar se a série é convergente ou divergente. Essa série é uma série alternada porque os termos mudam de sinal a cada termo devido ao . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e também verificar se a série converge absolutamente ou apenas condicionalmente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se três condições forem atendidas:
para todo .
é decrescente, ou seja, .
.
No nosso caso, .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições:
Positividade: é positivo para todo natural, já que raiz e denominador são positivos.
Decrescente: Para ver se é decrescente, observamos que, conforme aumenta, cresce mais devagar que . Matemáticamente, podemos derivar ou notar que diminui conforme aumenta.
Limite: Calculamos o limite de quando vai para o infinito:
Então, o limite é zero.
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série converge.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Observando o comportamento de para grandes , percebemos que:
A série é uma série p com , que sabemos que diverge porque .