Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+1

Passo 1

Então, a gente tem que analisar se a série é convergente ou divergente. Essa série é uma série alternada porque os termos mudam de sinal a cada termo devido ao . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e também verificar se a série converge absolutamente ou apenas condicionalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se três condições forem atendidas:
  1. para todo .
  2. é decrescente, ou seja, .
  3. .
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições:
  1. Positividade: limn to infty raiznn+1 = limn to infty n^1/2n = limn to infty 1n^1/2 = 0 é positivo para todo natural, já que raiz e denominador são positivos.
  2. Decrescente: Para ver se é decrescente, observamos que, conforme aumenta, cresce mais devagar que . Matemáticamente, podemos derivar ou notar que diminui conforme aumenta.
  3. Limite: Calculamos o limite de quando vai para o infinito:
    Então, o limite é zero.
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série converge.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 raiznn+1 | = sumn=1^infty raiznn+1
Observando o comportamento de raiznn+1 approx raiznn = 1raizn para grandes , percebemos que:
A série é uma série p com , que sabemos que diverge porque .

Resposta

A série converge condicionalmente.

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