Considere a série . Mostre que a série é convergente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que mostrar que a série é convergente. A matéria que vamos usar aqui é chamada de Teoria das Séries, e para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A regra é a seguinte:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos . Agora, precisamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão :
Passo 5
Vamos simplificar a expressão acima. Primeiro, separamos :
Sabemos que tende para quando tende ao infinito.
Passo 6
Agora, substituímos de volta na razão:
Simplificando:
Passo 7
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :
Resposta
Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.