Considere a série sumn=1^infty n^n(2 n)!. Mostre que a série é convergente

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que mostrar que a série é convergente. A matéria que vamos usar aqui é chamada de Teoria das Séries, e para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A regra é a seguinte:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = (n+1)^n+1(2(n+1))! = (n+1)^n+1(2n+2)! . Agora, precisamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an = (n+1)^n+1(2n+2)! cdot (2n)!n^n = (n+1)^n+1n^n cdot 1(2n+1)(2n+2) :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima. Primeiro, separamos (n+1)^n+1n^n = (n+1) (1 + 1n)^n :
Sabemos que tende para quando tende ao infinito.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na razão:
an+1an = (n+1) cdot e cdot 1(2n+1)(2n+2)
Simplificando:
an+1an = e(n+1)(2n+1)(2n+2)

Passo 7

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty e(n+1)(2n+1)(2n+2) = limn to infty e(n+1)4n^2 + 6n + 2 tende ao infinito:
L = limn to infty e(n+1n^2)4 + 6n + 2n^2 = limn to infty e(1n + 1n^2)4 + 0 + 0 = 0
Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.

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