Considere a série . Mostre que a série é convergente

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que mostrar que a série é convergente. A matéria que vamos usar aqui é chamada de Teoria das Séries, e para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A regra é a seguinte:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos . Agora, precisamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima. Primeiro, separamos :
Sabemos que tende para quando tende ao infinito.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na razão:
Simplificando:

Passo 7

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.

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Resolva as seguintes inequações:
Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
Resolva as seguintes inequações: .
Determine se a série é convergente ou divergente.