Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, tiramos o valor absoluto dos termos da série:
Precisamos ver se essa série converge.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência da série . Consideramos a função e avaliamos a integral de 2 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , então , o que não simplifica facilmente a integral. Observando o comportamento da função, notamos que cresce mais rapidamente que , indicando que a integral tende ao infinito.
Passo 5
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Para isso, verificamos se os termos são decrescentes e limitam a zero.
Primeiro, vemos que:
Isso significa que os termos não tendem a zero, então pelo Teste da Série Alternada, a série não converge condicionalmente.