Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. sumn=2^infty(-1)^n raiznln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, tiramos o valor absoluto dos termos da série:
sumn=2^infty | (-1)^n raiznln n | = sumn=2^infty raiznln n
Precisamos ver se essa série converge.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência da série integral2^infty raizxln x , dx . Consideramos a função e avaliamos a integral de 2 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , então , o que não simplifica facilmente a integral. Observando o comportamento da função, notamos que cresce mais rapidamente que , indicando que a integral tende ao infinito.

Passo 5

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Para isso, verificamos se os termos limn to infty raiznln n = infty são decrescentes e limitam a zero.
Primeiro, vemos que:
Isso significa que os termos não tendem a zero, então pelo Teste da Série Alternada, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

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