Considere a série para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?

Passo 1

Vamos analisar a série . Isso envolve estudar se a série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries geométricas e técnicas de manipulação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão geral da série. Podemos reescrever como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar a série em duas partes:
Vamos calcular cada uma dessas séries separadamente.

Passo 4

Para a primeira série , reconhecemos que é uma série geométrica com razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde é o primeiro termo. Aqui, , então:

Passo 5

Para a segunda série , podemos fatorar fora da soma:
Sabemos que (isso pode ser derivado da soma da série geométrica e suas propriedades).

Passo 6

Então, a segunda série fica:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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©
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