Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Passo 1
Vamos analisar a série
. Isso envolve estudar se a série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries geométricas e técnicas de manipulação de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão geral da série. Podemos reescrever
como
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar a série em duas partes:
Vamos calcular cada uma dessas séries separadamente.
Passo 4
Para a primeira série
, reconhecemos que é uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde
é o primeiro termo. Aqui,
, então:
Passo 5
Para a segunda série
, podemos fatorar
fora da soma:
Sabemos que
(isso pode ser derivado da soma da série geométrica e suas propriedades).
Passo 6
Então, a segunda série fica:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
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maior e raio
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. Faça o que se pede:
(a) Exprima em função de
;
(a) Exprima
Justifique as seguintes igualdades:
©
©
Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.