Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Passo 1
Vamos analisar a série
. Isso envolve estudar se a série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries geométricas e técnicas de manipulação de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão geral da série. Podemos reescrever
como
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar a série em duas partes:
Vamos calcular cada uma dessas séries separadamente.
Passo 4
Para a primeira série
, reconhecemos que é uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde
é o primeiro termo. Aqui,
, então:
Passo 5
Para a segunda série
, podemos fatorar
fora da soma:
Sabemos que
(isso pode ser derivado da soma da série geométrica e suas propriedades).
Passo 6
Então, a segunda série fica:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.