Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?

Passo 1

Vamos analisar a série . Isso envolve estudar se a série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries geométricas e técnicas de manipulação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão geral da série. Podemos reescrever sumn=1^+infty ( 12^n+1 - n2^n+1 ) como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar a série em duas partes:
sumn=1^+infty 12^n+1 - sumn=1^+infty n2^n+1
Vamos calcular cada uma dessas séries separadamente.

Passo 4

Para a primeira série S = a1 - r , reconhecemos que é uma série geométrica com razão S = 141 - 12 = 1412 = 12 . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde é o primeiro termo. Aqui, , então:

Passo 5

Para a segunda série 12 sumn=1^+infty n2^n , podemos fatorar fora da soma:
Sabemos que (isso pode ser derivado da soma da série geométrica e suas propriedades).

Passo 6

Então, a segunda série fica:
12 times 2 = 1

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
12 - 1 = -12

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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