Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Equação de Riccati, que é uma equação diferencial do tipo
onde
,
e
são funções contínuas. Temos uma solução particular
dessa equação e queremos descobrir a solução geral usando essa solução conhecida. Para isso, vamos usar a substituição
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida na equação de Riccati. Substituindo
por
, temos:
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Substituindo essa derivada de volta na equação, temos:
Vamos expandir o termo quadrático:
Passo 4
Substituindo de volta na equação:
Distribuindo o
:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que
é uma solução particular da equação de Riccati, então ela satisfaz:
Substituindo isso na equação anterior:
Simplificando,
cancela dos dois lados:
Passo 6
Vamos multiplicar toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear para
:
Podemos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo se torna a derivada de
:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação de Riccati é:
onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Justifique as seguintes igualdades:
©
©
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Prove que:
(a)
(a)