Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Equação de Riccati, que é uma equação diferencial do tipo
onde , e são funções contínuas. Temos uma solução particular dessa equação e queremos descobrir a solução geral usando essa solução conhecida. Para isso, vamos usar a substituição .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida na equação de Riccati. Substituindo por , temos:
Agora, vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Substituindo essa derivada de volta na equação, temos:
Vamos expandir o termo quadrático:

Passo 4

Substituindo de volta na equação:
Distribuindo o :

Passo 5

Agora, vamos lembrar que é uma solução particular da equação de Riccati, então ela satisfaz:
Substituindo isso na equação anterior:
Simplificando, cancela dos dois lados:

Passo 6

Vamos multiplicar toda a equação por para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:
Fatorando :

Passo 7

Agora, temos uma equação linear para :
Podemos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 8

Multiplicando a equação por :
O lado esquerdo se torna a derivada de :

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então:

Passo 10

Lembrando que , substituímos :
Simplificando:

Resposta

Portanto, a solução geral da equação de Riccati é:
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Justifique as seguintes igualdades:
©
Considere a série para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Prove que:
(a)