(a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.
(b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por , obtenha uma estimativa para o acréscimo (ou decréscimo) no custo ao fabricar-se embalagens com altura maior e raio menor em relação ao original.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo perguntado aqui. No item (a), um engenheiro de controle de qualidade quer garantir que as embalagens tenham o volume correto. Ele precisa saber se deve se preocupar mais com variações no raio ou na altura das embalagens. Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciais, que nos ajuda a entender como pequenas mudanças nas medidas afetam o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro, já que as embalagens parecem ter essa forma. A fórmula é:
onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura.

Passo 3

Agora, vamos calcular os diferenciais para entender como pequenas variações em e afetam o volume . O diferencial de é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Vamos analisar qual variável tem maior impacto no diferencial . Para isso, vamos comparar os coeficientes das variações e :
  • Para o raio:
  • Para a altura:
Se compararmos esses dois termos, percebemos que o coeficiente do raio ( ) geralmente será maior que o da altura ( ), especialmente se a altura for razoavelmente grande em relação ao raio. Isso significa que variações no raio têm um impacto maior no volume do que variações na altura.

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). Queremos estimar o acréscimo ou decréscimo no custo de fabricação das embalagens quando a altura aumenta 2% e o raio diminui 3%. Sabemos que o custo é de 20 centavos por .

Passo 6

Primeiro, precisamos relacionar a variação no volume com a variação na superfície, já que o custo está ligado à área superficial. A fórmula da área superficial de um cilindro é:

Passo 7

Usando diferenciais, o diferencial da área é:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 8

Vamos calcular as variações percentuais:
  • Variação no raio: ou
  • Variação na altura: ou
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Vamos fatorar :

Passo 10

O acréscimo ou decréscimo no custo é dado por . Mas como está negativo, o custo vai diminuir.

Resposta

Ao fabricar embalagens com altura 2 % maior e raio 3 % menor, o custo diminui aproximadamente 0,12 centavos por .

Exercícios relacionados

Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
(a) Exprima em função de ;
Considere a série para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Justifique as seguintes igualdades:
©