(a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.
(b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por
, obtenha uma estimativa para o acréscimo (ou decréscimo) no custo ao fabricar-se embalagens com altura
maior e raio
menor em relação ao original.
(b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo perguntado aqui. No item (a), um engenheiro de controle de qualidade quer garantir que as embalagens tenham o volume correto. Ele precisa saber se deve se preocupar mais com variações no raio ou na altura das embalagens. Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciais, que nos ajuda a entender como pequenas mudanças nas medidas afetam o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro, já que as embalagens parecem ter essa forma. A fórmula é:
onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Passo 3
Agora, vamos calcular os diferenciais para entender como pequenas variações em
e
afetam o volume
. O diferencial de
é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Vamos analisar qual variável tem maior impacto no diferencial
. Para isso, vamos comparar os coeficientes das variações
e
:
- Para o raio:
- Para a altura:
Se compararmos esses dois termos, percebemos que o coeficiente do raio (
) geralmente será maior que o da altura (
), especialmente se a altura for razoavelmente grande em relação ao raio. Isso significa que variações no raio têm um impacto maior no volume do que variações na altura.
Passo 5
Agora, vamos para o item (b). Queremos estimar o acréscimo ou decréscimo no custo de fabricação das embalagens quando a altura aumenta 2% e o raio diminui 3%. Sabemos que o custo é de 20 centavos por
.
Passo 6
Primeiro, precisamos relacionar a variação no volume com a variação na superfície, já que o custo está ligado à área superficial. A fórmula da área superficial de um cilindro é:
Passo 7
Usando diferenciais, o diferencial da área
é:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 8
Vamos calcular as variações percentuais:
- Variação no raio:
ou - Variação na altura:
ou
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 9
Vamos fatorar
:
Passo 10
O acréscimo ou decréscimo no custo é dado por
. Mas como
está negativo, o custo vai diminuir.
Resposta
Ao fabricar embalagens com altura 2 % maior e raio 3 % menor, o custo diminui aproximadamente 0,12 centavos por
.
Exercícios relacionados
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
(a) Exprima em função de
;
(a) Exprima
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Justifique as seguintes igualdades:
©
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