Justifique as seguintes igualdades:
© sumn=2^+infty 1n^2-1=34

Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma infinita . Esse exercício está no campo das séries infinitas, mais especificamente nas séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar usar fatoração de expressões algébricas e identificar como os termos da série se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) . Note que 1n^2-1 = 1(n - 1)(n + 1) pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números 1(n - 1)(n + 1) = An - 1 + Bn + 1 e 1 = A(n + 1) + B(n - 1) tais que:
1 = An + A + Bn - B = (A + B)n + (A - B)
Multiplicando ambos os lados por A + B = 0 A - B = 1 , obtemos:
Distribuindo e :
Para que isso seja válido para todos os , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados da equação. Isso nos dá o sistema:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, -A - B = 1 -A - (-A) = 1 0 = 1 .
Substituindo na segunda equação:
-A - B = 1 implies -(-B) - B = 1 implies B - B = 1 implies 0 = 1
Parece que houve um erro. Vamos revisar:
Na segunda equação A = -B , sabendo que (-B) - B = 1 implies -2B = 1 implies B = -12 , substituímos:
A = 12
Isso está errado, então vamos tentar de novo.
Na verdade, a substituição correta é:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 5

Agora que temos 1n^2-1 = 1/2n - 1 - 1/2n + 1 = 12(1n - 1 - 1n + 1) e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Substituindo isso na soma original:
sumn=2^+infty 1n^2-1 = 12 sumn=2^+infty (1n - 1 - 1n + 1)

Passo 7

Vamos expandir os primeiros termos da série para ver o padrão:
12( (11 - 13) + (12 - 14) + (13 - 15) + cdots )
Observamos que muitos termos se cancelam:
12( 1 + 12 - 13 + 13 - 14 + 14 - 15 + cdots ) = 12(1 + 12) = 12 times 32 = 34

Resposta

sumn=2^+infty 1n^2-1 = 34

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