Justifique as seguintes igualdades:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma infinita . Esse exercício está no campo das séries infinitas, mais especificamente nas séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar usar fatoração de expressões algébricas e identificar como os termos da série se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Note que pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Distribuindo e :
Para que isso seja válido para todos os , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados da equação. Isso nos dá o sistema:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Parece que houve um erro. Vamos revisar:
Na segunda equação , sabendo que , substituímos:
Isso está errado, então vamos tentar de novo.
Na verdade, a substituição correta é:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 5

Agora que temos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Substituindo isso na soma original:

Passo 7

Vamos expandir os primeiros termos da série para ver o padrão:
Observamos que muitos termos se cancelam:

Resposta

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onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Prove que:
(a)