Justifique as seguintes igualdades:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a soma infinita
. Esse exercício está no campo das séries infinitas, mais especificamente nas séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar usar fatoração de expressões algébricas e identificar como os termos da série se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Note que
pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Distribuindo
e
:
Para que isso seja válido para todos os
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados da equação. Isso nos dá o sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação,
.
Substituindo na segunda equação:
Parece que houve um erro. Vamos revisar:
Na segunda equação
, sabendo que
, substituímos:
Isso está errado, então vamos tentar de novo.
Na verdade, a substituição correta é:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Substituindo isso na soma original:
Passo 7
Vamos expandir os primeiros termos da série para ver o padrão:
Observamos que muitos termos se cancelam: