Justifique as seguintes igualdades:
©
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a soma infinita
. Esse exercício está no campo das séries infinitas, mais especificamente nas séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar usar fatoração de expressões algébricas e identificar como os termos da série se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Note que
pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Distribuindo
e
:
Para que isso seja válido para todos os
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados da equação. Isso nos dá o sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação,
.
Substituindo na segunda equação:
Parece que houve um erro. Vamos revisar:
Na segunda equação
, sabendo que
, substituímos:
Isso está errado, então vamos tentar de novo.
Na verdade, a substituição correta é:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Substituindo isso na soma original:
Passo 7
Vamos expandir os primeiros termos da série para ver o padrão:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Resposta
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Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
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(a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.
(b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por , obtenha uma estimativa para o acréscimo (ou decréscimo) no custo ao fabricar-se embalagens com altura
maior e raio
menor em relação ao original.
(b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por
Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Prove que:
(a)
(a)