Considere a série
. Escreva as 5 primeiras somas parciais. Determine se ela converge ou diverge. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com séries infinitas, especificamente a série alternada
. Vamos calcular as 5 primeiras somas parciais e depois verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar somar os primeiros termos e usar o Teste da Série Alternada para analisar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as 5 primeiras somas parciais da série. A soma parcial
é a soma dos primeiros
termos da série.
-
Soma Parcial 1 (
): Ops! Aqui encontramos um problema:, e divisão por zero não é definida. Isso indica que a série, conforme está escrita, não é válida a partir de . Provavelmente, houve um erro no enunciado, e a série deveria começar em . Vamos ajustar isso: -
Soma Parcial 1 (
) corrigida: -
Soma Parcial 2 (
): -
Soma Parcial 3 (
): -
Soma Parcial 4 (
): -
Soma Parcial 5 (
):
Passo 3
Agora que temos as 5 primeiras somas parciais, vamos analisar se a série converge ou diverge. Para séries alternadas, a gente pode usar o Teste da Série Alternada, também conhecido como Teste de Leibniz. Esse teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Monotonicidade: Os termos
devem ser decrescentes, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior. - Limite dos Termos: O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 4
Vamos verificar se essas condições são atendidas na nossa série
:
-
Monotonicidade:Como
aumenta, tanto quanto aumentam, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes. -
Limite dos Termos:Conforme
cresce, tende ao infinito, fazendo com que tenda a zero.
Como as duas condições são satisfeitas, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Série Alternada, já que os termos são decrescentes e tendem a zero.
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