Considere a série sumn=1^infty (-1)^nn ln (n). Escreva as 5 primeiras somas parciais. Determine se ela converge ou diverge. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com séries infinitas, especificamente a série alternada sumn=1^infty (-1)^nn ln (n). Vamos calcular as 5 primeiras somas parciais e depois verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar somar os primeiros termos e usar o Teste da Série Alternada para analisar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as 5 primeiras somas parciais da série. A soma parcial Sk é a soma dos primeiros k termos da série.
  1. Soma Parcial 1 ( S1):
    S1 = (-1)^11 ln(1) = -10
    Ops! Aqui encontramos um problema: ln(1) = 0, e divisão por zero não é definida. Isso indica que a série, conforme está escrita, não é válida a partir de n=1. Provavelmente, houve um erro no enunciado, e a série deveria começar em n=2. Vamos ajustar isso:
  2. Soma Parcial 1 ( S1) corrigida:
    S1 = (-1)^22 ln(2) = 12 ln(2) approx 12 times 0.6931 approx 0.7213
  3. Soma Parcial 2 ( S2):
    S2 = S1 + (-1)^33 ln(3) = 0.7213 - 13 times 1.0986 approx 0.7213 - 0.3032 = 0.4181
  4. Soma Parcial 3 ( S3):
    S3 = S2 + (-1)^44 ln(4) = 0.4181 + 14 times 1.3863 approx 0.4181 + 0.1803 = 0.5984
  5. Soma Parcial 4 ( S4):
    S4 = S3 + (-1)^55 ln(5) = 0.5984 - 15 times 1.6094 approx 0.5984 - 0.1241 = 0.4743
  6. Soma Parcial 5 ( S5):
    S5 = S4 + (-1)^66 ln(6) = 0.4743 + 16 times 1.7918 approx 0.4743 + 0.0930 = 0.5673

Passo 3

Agora que temos as 5 primeiras somas parciais, vamos analisar se a série converge ou diverge. Para séries alternadas, a gente pode usar o Teste da Série Alternada, também conhecido como Teste de Leibniz. Esse teste diz que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Monotonicidade: Os termos an devem ser decrescentes, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior.
  2. Limite dos Termos: O limite de an quando n tende ao infinito deve ser zero.

Passo 4

Vamos verificar se essas condições são atendidas na nossa série sumn=2^infty (-1)^nn ln(n):
  1. Monotonicidade:
    an = 1n ln(n)
    Como n aumenta, tanto n quanto ln(n) aumentam, então an diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
  2. Limite dos Termos:
    limn to infty 1n ln(n) = 0
    Conforme n cresce, n ln(n) tende ao infinito, fazendo com que an tenda a zero.
Como as duas condições são satisfeitas, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

A série sumn=2^infty (-1)^nn ln (n) converge pelo Teste da Série Alternada, já que os termos são decrescentes e tendem a zero.

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