Considere a série . Escreva as 5 primeiras somas parciais. Determine se ela converge ou diverge. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com séries infinitas, especificamente a série alternada . Vamos calcular as 5 primeiras somas parciais e depois verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar somar os primeiros termos e usar o Teste da Série Alternada para analisar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as 5 primeiras somas parciais da série. A soma parcial é a soma dos primeiros termos da série.
  1. Soma Parcial 1 ( ):
    Ops! Aqui encontramos um problema: , e divisão por zero não é definida. Isso indica que a série, conforme está escrita, não é válida a partir de . Provavelmente, houve um erro no enunciado, e a série deveria começar em . Vamos ajustar isso:
  2. Soma Parcial 1 ( ) corrigida:
  3. Soma Parcial 2 ( ):
  4. Soma Parcial 3 ( ):
  5. Soma Parcial 4 ( ):
  6. Soma Parcial 5 ( ):

Passo 3

Agora que temos as 5 primeiras somas parciais, vamos analisar se a série converge ou diverge. Para séries alternadas, a gente pode usar o Teste da Série Alternada, também conhecido como Teste de Leibniz. Esse teste diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Monotonicidade: Os termos devem ser decrescentes, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior.
  2. Limite dos Termos: O limite de quando tende ao infinito deve ser zero.

Passo 4

Vamos verificar se essas condições são atendidas na nossa série :
  1. Monotonicidade:
    Como aumenta, tanto quanto aumentam, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
  2. Limite dos Termos:
    Conforme cresce, tende ao infinito, fazendo com que tenda a zero.
Como as duas condições são satisfeitas, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Série Alternada, já que os termos são decrescentes e tendem a zero.

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