Escreva os primeiros elementos da sequência a_n = n!/n^n e determine se ela converge ou diverge. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os primeiros elementos da sequência e descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela chega a um valor fixo conforme cresce) ou diverge (não tem um limite fixo). Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente envolvendo fatorial e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros elementos da sequência para entender como ela se comporta:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que os valores estão diminuindo conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que (fatorial de ) cresce rapidamente, mas (potência de ) cresce ainda mais rápido. Para comparar o crescimento, podemos usar a relação:
Cada termo (com de 1 a ) é menor ou igual a 1 e, na verdade, a maioria desses termos fica cada vez menor à medida que aumenta. Portanto, o produto desses termos tende a zero.

Passo 4

Para confirmar, podemos usar a fórmula de Stirling, que diz que:
Substituindo na nossa sequência:
Como tende a zero muito rápido quando cresce, o limite da sequência é zero.

Resposta

A sequência converge para 0 quando tende ao infinito.

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