Escreva os primeiros elementos da sequência
e determine se ela converge ou diverge. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os primeiros elementos da sequência
e descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela chega a um valor fixo conforme
cresce) ou diverge (não tem um limite fixo). Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente envolvendo fatorial e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros elementos da sequência para entender como ela se comporta:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Vemos que os valores estão diminuindo conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
(fatorial de
) cresce rapidamente, mas
(potência de
) cresce ainda mais rápido. Para comparar o crescimento, podemos usar a relação:
Cada termo
(com
de 1 a
) é menor ou igual a 1 e, na verdade, a maioria desses termos fica cada vez menor à medida que
aumenta. Portanto, o produto desses termos tende a zero.
Passo 4
Para confirmar, podemos usar a fórmula de Stirling, que diz que:
Substituindo na nossa sequência:
Como
tende a zero muito rápido quando
cresce, o limite da sequência é zero.
Resposta
A sequência
converge para 0 quando
tende ao infinito.
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