O plano
intercepta o cone
em uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a interseção entre um plano e um cone, que forma uma elipse. A gente precisa encontrar os pontos dessa elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e otimização. Vamos precisar trabalhar com equações de planos e cones, além de entender como encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
- Plano:
- Cone:
A interseção desses dois dá a elipse que o problema menciona.
Passo 3
Queremos encontrar os pontos nessa elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem. Para isso, vamos minimizar e maximizar a distância da origem até um ponto
na elipse. A distância
é dada por:
Mas, para facilitar, vamos trabalhar com
:
Nosso objetivo é minimizar e maximizar
sujeito às restrições das equações do plano e do cone.
Passo 4
Para resolver esse tipo de problema com restrições, vamos usar Multiplicadores de Lagrange. A ideia é transformar o problema com restrições em um problema sem restrições, adicionando termos que considerem essas restrições.
Definimos a função Lagrangiana:
Onde
e
são os multiplicadores de Lagrange.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
,
e
, e igualá-las a zero:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Vamos tentar simplificar essas equações para encontrar os valores de
,
,
,
e
.
Passo 7
Vamos resolver as equações 1, 2 e 3 para
:
Da equação 1:
Da equação 2:
Igualando as duas expressões para
:
Podemos cancelar
(assumindo que
):
Passo 8
Agora, da equação 3:
Agora, igualando com a expressão anterior de
:
Vamos resolver para
:
Passo 9
Agora, usamos a equação 4 (
) e substituímos
e
em termos de
:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Passo 10
Esse sistema está ficando complicado, então vamos tentar outra abordagem. Sabemos que no cone
, então podemos parametrizar
e
em termos de
:
Vamos substituir isso na equação do plano:
Então,
Passo 11
Agora, queremos minimizar e maximizar
. Substituindo
e
em termos de
:
Então, minimizar e maximizar
é equivalente a minimizar e maximizar
, já que 2 é uma constante positiva.
Passo 12
Vamos então focar em
. Sabemos que:
Queremos encontrar os valores de
que minimizam e maximizam
, ou seja, que minimizam e maximizam
, já que
.
Para maximizar ou minimizar
, precisamos minimizar ou maximizar o denominador
.
Passo 13
Vamos encontrar os extremos de
.
Primeiro, vamos encontrar a amplitude da função
. Sabemos que:
Então,
Onde
.
Portanto,
Os extremos de
ocorrem quando
é 1 ou -1.
Passo 14
Assim, os valores mínimos e máximos de
são:
Correspondendo a:
Passo 15
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a esses valores de
:
Para
:
Onde
é o ângulo que minimiza
, ou seja,
.
Isso ocorre quando
, então
.
Substituindo
:
Então,
Portanto, o ponto mais próximo da origem é
.
Passo 16
Para
:
Onde
é o ângulo que maximiza
, ou seja,
.
Isso ocorre quando
, então
.
Substituindo
:
Então,
Portanto, o ponto mais distante da origem é
.
Resposta
Os pontos da elipse que estão mais próximo e mais longe da origem são:
- Ponto mais próximo:
- Ponto mais distante:
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