O plano intercepta o cone em uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a interseção entre um plano e um cone, que forma uma elipse. A gente precisa encontrar os pontos dessa elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e otimização. Vamos precisar trabalhar com equações de planos e cones, além de entender como encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
  • Plano:
  • Cone:
A interseção desses dois dá a elipse que o problema menciona.

Passo 3

Queremos encontrar os pontos nessa elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem. Para isso, vamos minimizar e maximizar a distância da origem até um ponto na elipse. A distância é dada por:
Mas, para facilitar, vamos trabalhar com :
Nosso objetivo é minimizar e maximizar sujeito às restrições das equações do plano e do cone.

Passo 4

Para resolver esse tipo de problema com restrições, vamos usar Multiplicadores de Lagrange. A ideia é transformar o problema com restrições em um problema sem restrições, adicionando termos que considerem essas restrições.
Definimos a função Lagrangiana:
Onde e são os multiplicadores de Lagrange.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , , , e , e igualá-las a zero:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Vamos tentar simplificar essas equações para encontrar os valores de , , , e .

Passo 7

Vamos resolver as equações 1, 2 e 3 para :
Da equação 1:
Da equação 2:
Igualando as duas expressões para :
Podemos cancelar (assumindo que ):

Passo 8

Agora, da equação 3:
Agora, igualando com a expressão anterior de :
Vamos resolver para :

Passo 9

Agora, usamos a equação 4 ( ) e substituímos e em termos de :
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 10

Esse sistema está ficando complicado, então vamos tentar outra abordagem. Sabemos que no cone , então podemos parametrizar e em termos de :
Vamos substituir isso na equação do plano:
Então,

Passo 11

Agora, queremos minimizar e maximizar . Substituindo e em termos de :
Então, minimizar e maximizar é equivalente a minimizar e maximizar , já que 2 é uma constante positiva.

Passo 12

Vamos então focar em . Sabemos que:
Queremos encontrar os valores de que minimizam e maximizam , ou seja, que minimizam e maximizam , já que .
Para maximizar ou minimizar , precisamos minimizar ou maximizar o denominador .

Passo 13

Vamos encontrar os extremos de .
Primeiro, vamos encontrar a amplitude da função . Sabemos que:
Então,
Onde .
Portanto,
Os extremos de ocorrem quando é 1 ou -1.

Passo 14

Assim, os valores mínimos e máximos de são:
Correspondendo a:

Passo 15

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a esses valores de :
Para :
Onde é o ângulo que minimiza , ou seja, .
Isso ocorre quando , então .
Substituindo :
Então,
Portanto, o ponto mais próximo da origem é .

Passo 16

Para :
Onde é o ângulo que maximiza , ou seja, .
Isso ocorre quando , então .
Substituindo :
Então,
Portanto, o ponto mais distante da origem é .

Resposta

Os pontos da elipse que estão mais próximo e mais longe da origem são:
  • Ponto mais próximo:
  • Ponto mais distante:

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