Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
sumk=1^infty(5^3 k cdot 7^1-k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa saber se ela converge (isto é, chega a um número finito) e, se sim, descobrir qual é essa soma. O conteúdo aqui é sobre séries geométricas, que são um tipo especial de sequência onde cada termo é um múltiplo do anterior. Para resolver, vamos identificar se nossa série é geométrica e depois aplicar a fórmula certa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série que temos:
sumk=1^infty(5^3 k cdot 7^1-k)
Vamos simplificar isso para ver se conseguimos colocar na forma de uma série geométrica, que geralmente é algo como , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
5^3k cdot 7^1-k = 5^3k cdot 7 cdot 7^-k = 7 cdot (5^3)^k cdot 7^-k = 7 cdot (5^37)^k
Sabendo que 7 cdot (1257)^k , temos:
7 cdot sumk=1^infty (1257)^k
Então, nossa série fica:
Isso está na forma de uma série geométrica onde a razão .

Passo 4

Para uma série geométrica |1257| = 1257 approx 17,86 convergir, a razão precisa ser menor que 1. Vamos verificar:
Como , a série não converge.

Resposta

A série não converge.

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