Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa saber se ela converge (isto é, chega a um número finito) e, se sim, descobrir qual é essa soma. O conteúdo aqui é sobre séries geométricas, que são um tipo especial de sequência onde cada termo é um múltiplo do anterior. Para resolver, vamos identificar se nossa série é geométrica e depois aplicar a fórmula certa.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série que temos:
Vamos simplificar isso para ver se conseguimos colocar na forma de uma série geométrica, que geralmente é algo como , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Sabendo que , temos:
Então, nossa série fica:
Isso está na forma de uma série geométrica onde a razão .
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão precisa ser menor que 1. Vamos verificar: