Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa saber se ela converge (isto é, chega a um número finito) e, se sim, descobrir qual é essa soma. O conteúdo aqui é sobre séries geométricas, que são um tipo especial de sequência onde cada termo é um múltiplo do anterior. Para resolver, vamos identificar se nossa série é geométrica e depois aplicar a fórmula certa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série que temos:
Vamos simplificar isso para ver se conseguimos colocar na forma de uma série geométrica, que geralmente é algo como , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Sabendo que , temos:
Então, nossa série fica:
Isso está na forma de uma série geométrica onde a razão .

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão precisa ser menor que 1. Vamos verificar:
Como , a série não converge.

Resposta

A série não converge.

Exercícios relacionados

(a) A série geométrica
converge para
Suponha que e . Encontre os valores de:
Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
Considere a série tal que os termos são definidos recursivamente pelas equações
Determine se converge ou diverge.