Considere as séries sum an e sum bn, tais que an>0 e bn>0 e leia com atenção as afirmações:
(I) Se lim n infty anbn=c>0, então ambas convergem;
(II) Se lim n infty anbn=0 e se sum bn converge, então sum an converge;
(III) Se lim n infty anbn=infty e se sum bn diverge, então sum an diverge.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ] V F V

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas séries e , onde os termos e são positivos. Temos três afirmações (I, II e III) que vamos analisar para ver se estão verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos usar o Teste do Limite e o Teste de Comparação para séries.

Passo 2

Afirmação I: Se , então ambas as séries convergem.
Aqui, o que estamos vendo é uma aplicação do Teste de Limite para séries. Esse teste nos diz que se o limite da razão dos termos das duas séries é um número positivo e finito, então as séries ou ambas convergem ou ambas divergem. A afirmação diz que ambas convergem, mas esquecem que elas também podem divergir.
Então, a afirmação I é falsa.

Passo 3

Afirmação II: Se e se converge, então converge.
Aqui, estamos usando novamente o Teste de Limite. Se a razão tende a zero, isso indica que é “menor” que para grande. Se a série converge e é menor que , então, pelo Teste de Comparação, a série também converge.
Então, a afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: Se e se diverge, então diverge.
Aqui, se a razão tende ao infinito, significa que cresce muito mais rápido que . Se a série já está divergindo e é muito maior que , então, pela lógica do Teste de Comparação, também vai divergir.
Então, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

FVV

Exercícios relacionados