Considere as séries
e
, tais que
e
e leia com atenção as afirmações:
(I) Se
, então ambas convergem;
(II) Se
e se
converge, então
converge;
(III) Se
e se
diverge, então
diverge.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ]
(I) Se
(II) Se
(III) Se
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas séries
e
, onde os termos
e
são positivos. Temos três afirmações (I, II e III) que vamos analisar para ver se estão verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos usar o Teste do Limite e o Teste de Comparação para séries.
Passo 2
Afirmação I: Se
, então ambas as séries convergem.
Aqui, o que estamos vendo é uma aplicação do Teste de Limite para séries. Esse teste nos diz que se o limite da razão dos termos das duas séries é um número positivo e finito, então as séries ou ambas convergem ou ambas divergem. A afirmação diz que ambas convergem, mas esquecem que elas também podem divergir.
Então, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Afirmação II: Se
e se
converge, então
converge.
Aqui, estamos usando novamente o Teste de Limite. Se a razão
tende a zero, isso indica que
é “menor” que
para
grande. Se a série
converge e
é menor que
, então, pelo Teste de Comparação, a série
também converge.
Então, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: Se
e se
diverge, então
diverge.
Aqui, se a razão
tende ao infinito, significa que
cresce muito mais rápido que
. Se a série
já está divergindo e
é muito maior que
, então, pela lógica do Teste de Comparação,
também vai divergir.
Então, a afirmação III é verdadeira.
Resposta
FVV