Considere um sinal periódico , com período . No intervalo o sinal é definido como
Determine a expressão para os coeficientes da representação de por Série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os coeficientes da Série de Fourier para um sinal periódico com período s. A gente sabe que a Série de Fourier decompõe um sinal periódico em uma soma de funções senoidais (seno e cosseno). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular esses coeficientes usando as fórmulas da teoria de Séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como é o sinal . Ele é definido no intervalo s como:
Aqui, é a função degrau unitário, que vale 0 para e 1 para . Então, muda de 0 para 1 em s, e muda de 0 para 1 em s. Isso faz com que seja igual a 1 no intervalo s e 0 fora desse intervalo, mas dentro do período s.
Passo 3
Agora vamos lembrar da fórmula geral para os coeficientes da Série de Fourier para uma função periódica com período :
Como nosso sinal é par (pois é simétrico em relação ao tempo), os coeficientes dos senos serão zero, e só precisamos calcular os .
Passo 4
Vamos substituir s na fórmula:
Mas sabemos que no intervalo s e 0 fora desse intervalo. Então, a integral fica apenas nesse intervalo:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A integral de é . Aplicando isso:
Simplificando:
Resposta
Os coeficientes da Série de Fourier para o sinal são dados por:
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Considere o seguinte sinal periódico
Determine a frequência fundamental e os coeficientes tal que .
Calcule .
a.
b. 0
c.
d.
e.
Sabendo que , então é:
a.
b.
c. e
d. 1
e. 0