Sejam
e os vetores
e
.
Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o IR
. (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
b)
Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o IR
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função
é um produto interno no espaço
. Para isso, vamos usar os axiomas que definem um produto interno: comutatividade, distributividade, compatibilidade com escalares e positividade. Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a comutatividade. Isso significa que
deve ser igual a
. Olhando a função dada:
Se invertermos
e
, temos:
Como a multiplicação é comutativa (
, etc.), fica claro que:
Então, a comutatividade é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos checar a distributividade em relação à soma de vetores. Precisamos verificar se:
Vamos calcular cada lado:
Primeiro,
, então:
Distribuindo, temos:
Agora, separando os produtos:
Ou seja:
Então, a distributividade também é satisfeita.
Passo 4
Vamos ver a compatibilidade com escalares, que diz que:
Calculando o lado esquerdo:
O que é igual a:
Então, a compatibilidade com escalares está ok.
Passo 5
Por fim, a positividade. Precisamos que:
para todo
. Vamos calcular:
Como cada termo
é maior ou igual a zero, e os coeficientes 3, 5 e 2 são positivos,
será sempre positivo a menos que
. Portanto, a positividade também é satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz todos os axiomas de um produto interno em
. Logo, é um produto interno.