Sejam V=I R^3 e os vetores u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2).
Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o IR ^3. (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
b) u cdot v=3 x1 x2+5 y1 y2+2 z1 z2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função é um produto interno no espaço . Para isso, vamos usar os axiomas que definem um produto interno: comutatividade, distributividade, compatibilidade com escalares e positividade. Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a comutatividade. Isso significa que u cdot v = 3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2 deve ser igual a v cdot u = 3x2x1 + 5y2y1 + 2z2z1 . Olhando a função dada:
u cdot v = v cdot u
Se invertermos e , temos:
Como a multiplicação é comutativa ( , etc.), fica claro que:
Então, a comutatividade é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos checar a distributividade em relação à soma de vetores. Precisamos verificar se:
u cdot (v + w) = u cdot v + u cdot w
Vamos calcular cada lado:
Primeiro, u cdot (v + w) = 3x1(x2 + x3) + 5y1(y2 + y3) + 2z1(z2 + z3) , então:
= 3x1x2 + 3x1x3 + 5y1y2 + 5y1y3 + 2z1z2 + 2z1z3
Distribuindo, temos:
= (3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2) + (3x1x3 + 5y1y3 + 2z1z3)
Agora, separando os produtos:
u cdot (v + w) = u cdot v + u cdot w
Ou seja:
Então, a distributividade também é satisfeita.

Passo 4

Vamos ver a compatibilidade com escalares, que diz que:
(c u) cdot v = c (u cdot v)
Calculando o lado esquerdo:
(c u) cdot v = 3(cx1)x2 + 5(cy1)y2 + 2(cz1)z2 = c(3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2)
O que é igual a:
c (u cdot v)
Então, a compatibilidade com escalares está ok.

Passo 5

Por fim, a positividade. Precisamos que:
u cdot u > 0
para todo u cdot u = 3x1^2 + 5y1^2 + 2z1^2 . Vamos calcular:
Como cada termo é maior ou igual a zero, e os coeficientes 3, 5 e 2 são positivos, será sempre positivo a menos que . Portanto, a positividade também é satisfeita.

Resposta

A função satisfaz todos os axiomas de um produto interno em . Logo, é um produto interno.

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