Sejam e os vetores e .
Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o IR . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função é um produto interno no espaço . Para isso, vamos usar os axiomas que definem um produto interno: comutatividade, distributividade, compatibilidade com escalares e positividade. Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a comutatividade. Isso significa que deve ser igual a . Olhando a função dada:
Se invertermos e , temos:
Como a multiplicação é comutativa (, etc.), fica claro que:
Então, a comutatividade é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos checar a distributividade em relação à soma de vetores. Precisamos verificar se:
Vamos calcular cada lado:
Primeiro, , então:
Distribuindo, temos:
Agora, separando os produtos:
Ou seja:
Então, a distributividade também é satisfeita.
Passo 4
Vamos ver a compatibilidade com escalares, que diz que:
Calculando o lado esquerdo:
O que é igual a:
Então, a compatibilidade com escalares está ok.
Passo 5
Por fim, a positividade. Precisamos que:
para todo . Vamos calcular:
Como cada termo é maior ou igual a zero, e os coeficientes 3, 5 e 2 são positivos, será sempre positivo a menos que . Portanto, a positividade também é satisfeita.
Resposta
A função satisfaz todos os axiomas de um produto interno em . Logo, é um produto interno.