Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores das constantes , e o sistema de equações abaixo tem solução:
Vamos usar a teoria de sistemas lineares e métodos de álgebra linear, como matrizes e operações de linha, pra resolver isso. Precisaremos montar a matriz aumentada do sistema e fazer algumas manipulações pra ver quando o sistema é consistente, ou seja, quando há solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes juntos numa matriz:
Aqui, cada linha representa uma das equações e cada coluna, menos a última, representa uma variável (, , , ).
Passo 3
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss pra simplificar essa matriz. A ideia é transformar a matriz em uma forma onde seja fácil de ver se o sistema tem solução.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o das linhas abaixo.
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Então, a segunda linha fica:
Subtrair 0 vezes a primeira linha da terceira linha: Não muda, pois o coeficiente de na terceira linha é 0.
Subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Então, a quarta linha fica:
Agora, nossa matriz está assim:
Passo 4
Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais (exceto pelos termos constantes). Vamos simplificar isso.
Subtrair a segunda linha da terceira linha:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 5
Vamos simplificar mais, olhando para a quarta linha. Podemos notar que ela é o dobro da segunda linha:
Então, para que essa igualdade seja verdadeira:
Passo 6
Além disso, na terceira linha, temos:
Já sabemos que , então substituindo:
Passo 7
Portanto, para que o sistema tenha solução, as constantes devem satisfazer: