Para quais valores das constantes c1, c2 e c3 o sistema
x-2 y+z+w & =c1 2 x+y+z-w & =c2 5 y-z-3 w & =c3 2 x+6 y-4 w & =0
possui solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores das constantes x - 2y + z + w &= c1 2x + y + z - w &= c2 5y - z - 3w &= c3 2x + 6y - 4w &= 0 , e o sistema de equações abaixo tem solução:
Vamos usar a teoria de sistemas lineares e métodos de álgebra linear, como matrizes e operações de linha, pra resolver isso. Precisaremos montar a matriz aumentada do sistema e fazer algumas manipulações pra ver quando o sistema é consistente, ou seja, quando há solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes juntos numa matriz:
1 & -2 & 1 & 1 & | & c1 2 & 1 & 1 & -1 & | & c2 0 & 5 & -1 & -3 & | & c3 2 & 6 & 0 & -4 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma das equações e cada coluna, menos a última, representa uma variável ( , , , ).

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss pra simplificar essa matriz. A ideia é transformar a matriz em uma forma onde seja fácil de ver se o sistema tem solução.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o 2 - 2 times 1 = 0 1 - 2 times (-2) = 5 1 - 2 times 1 = -1 -1 - 2 times 1 = -3 c2 - 2 times c1 = c2 - 2c1 das linhas abaixo.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
0 5 -1 -3 | c2 - 2c1
Então, a segunda linha fica:
2 - 2 times 1 = 0 6 - 2 times (-2) = 10 0 - 2 times 1 = -2 -4 - 2 times 1 = -6 0 - 2 times c1 = -2c1
  • Subtrair 0 vezes a primeira linha da terceira linha: Não muda, pois o coeficiente de 0 10 -2 -6 | -2c1 na terceira linha é 0.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
1 & -2 & 1 & 1 & | & c1 0 & 5 & -1 & -3 & | & c2 - 2c1 0 & 5 & -1 & -3 & | & c3 0 & 10 & -2 & -6 & | & -2c1
Então, a quarta linha fica:
Agora, nossa matriz está assim:

Passo 4

Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais (exceto pelos termos constantes). Vamos simplificar isso.
  • Subtrair a segunda linha da terceira linha:
0 - 0 = 0 5 - 5 = 0 -1 - (-1) = 0 -3 - (-3) = 0 c3 - (c2 - 2c1) = c3 - c2 + 2c1
Então, a terceira linha fica:
0 0 0 0 | c3 - c2 + 2c1
Nossa matriz agora é:
1 & -2 & 1 & 1 & | & c1 0 & 5 & -1 & -3 & | & c2 - 2c1 0 & 0 & 0 & 0 & | & c3 - c2 + 2c1 0 & 10 & -2 & -6 & | & -2c1

Passo 5

Vamos simplificar mais, olhando para a quarta linha. Podemos notar que ela é o dobro da segunda linha:
10 = 2 times 5 -2 = 2 times (-1) -6 = 2 times (-3) -2c1 = 2 times (c2 - 2c1)
Então, para que essa igualdade seja verdadeira:
-2c1 = 2c2 - 4c1 Rightarrow -2c1 + 4c1 = 2c2 Rightarrow 2c1 = 2c2 Rightarrow c1 = c2

Passo 6

Além disso, na terceira linha, temos:
0 = c3 - c2 + 2c1
Já sabemos que 0 = c3 - c1 + 2c1 Rightarrow 0 = c3 + c1 Rightarrow c3 = -c1 , então substituindo:

Passo 7

Portanto, para que o sistema tenha solução, as constantes devem satisfazer:
c1 = c2 c3 = -c1

Resposta

O sistema possui solução se e somente se e .

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