Para quais valores das constantes e o sistema
possui solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores das constantes , e o sistema de equações abaixo tem solução:
Vamos usar a teoria de sistemas lineares e métodos de álgebra linear, como matrizes e operações de linha, pra resolver isso. Precisaremos montar a matriz aumentada do sistema e fazer algumas manipulações pra ver quando o sistema é consistente, ou seja, quando há solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes juntos numa matriz:
Aqui, cada linha representa uma das equações e cada coluna, menos a última, representa uma variável ( , , , ).

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss pra simplificar essa matriz. A ideia é transformar a matriz em uma forma onde seja fácil de ver se o sistema tem solução.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o das linhas abaixo.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Então, a segunda linha fica:
  • Subtrair 0 vezes a primeira linha da terceira linha: Não muda, pois o coeficiente de na terceira linha é 0.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Então, a quarta linha fica:
Agora, nossa matriz está assim:

Passo 4

Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais (exceto pelos termos constantes). Vamos simplificar isso.
  • Subtrair a segunda linha da terceira linha:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:

Passo 5

Vamos simplificar mais, olhando para a quarta linha. Podemos notar que ela é o dobro da segunda linha:
Então, para que essa igualdade seja verdadeira:

Passo 6

Além disso, na terceira linha, temos:
Já sabemos que , então substituindo:

Passo 7

Portanto, para que o sistema tenha solução, as constantes devem satisfazer:

Resposta

O sistema possui solução se e somente se e .

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Sejam e os vetores e .
Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o IR . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
b)

Considere o sistema


Determine:
o posto da matriz ampliada: e o grau de liberdade:
O sistema é
Insira as entradas da matriz ampliada do sistema equivalente obtido após levar a matriz dos coeficientes à forma escalonada reduzida:
Determinar a interseção da reta , como plano .
Determine a equação geral do plano de equações: