Considere o sistema abaixo. Desenho o diagrama de bode por assíntotas. Projete um controlador de atraso de fase de tal forma que o sistema possua constante de erro de velocidade de
e margem de fase de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com a função de transferência
. Precisamos desenhar o diagrama de Bode usando assíntotas e projetar um controlador de atraso de fase que faça com que o sistema tenha uma constante de erro de velocidade
e uma margem de fase de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a constante de erro de velocidade
. Ela nos ajuda a determinar o quão bem o sistema responde a uma entrada de degrau de velocidade, ou seja, uma rampa. A constante
é definida como:
Onde
é o controlador que vamos projetar.
Passo 3
Vamos calcular a constante de erro de velocidade atual do sistema sem controlador. Substituindo
:
Mas queremos que
. Isso significa que precisamos aumentar essa constante em um fator de 10.
Passo 4
Para aumentar
, podemos usar um controlador proporcional
. A nova constante de erro será:
Queremos que
, então:
Então, nosso controlador inicial é um ganho proporcional de
.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que a margem de fase do sistema seja de
. Para isso, vamos desenhar o diagrama de Bode do sistema com o ganho
.
Primeiro, a função de transferência em malha aberta é:
Passo 6
No diagrama de Bode, temos dois pólos em
e
. A magnitude e a fase serão plotadas considerando esses pólos.
- Magnitude: A magnitude decresce a após cada pólo.
- Fase: Cada pólo contribui com
de fase.
Com o ganho
, ajustamos a magnitude para atingir a frequência onde a fase é adequada para obter a margem de fase desejada.
Passo 7
Para aumentar a margem de fase, vamos projetar um controlador de atraso de fase, que na verdade é um controlador de fase ‘lag’. Esse controlador adiciona ganho em baixas frequências, melhorando a constante de erro sem afetar muito a resposta em alta frequência.
A forma geral do controlador é:
Onde
. Isso cria um atraso de fase na frequência de cruzamento de ganho.
Passo 8
Vamos escolher
e
de forma que a fase adicionada seja suficiente para alcançar a margem de fase de
.
Calculando a nova frequência de cruzamento com o controlador:
Ajustamos
e
para que a fase total no ponto de cruzamento de ganho seja
(pois queremos uma margem de fase de
).
Passo 9
Depois de ajustar os parâmetros do controlador e recalcular o diagrama de Bode, confirmamos que a margem de fase está adequada e que
está atingida.
Resposta
O controlador projetado é:
onde
e
são ajustados para garantir uma margem de fase de
e
.
Exercícios relacionados
Para a função de transferência em malha aberta abaixo, traçar o Diagrama de Bode através de assíntotas.
Para a função de transferência em malha aberta abaixo, obtenha uma expressão para a saída em regime permanente se a entrada for dada por
.
Determine a tensão em um indutor de indutância
se a corrente no indutor é
para
, sabendo que
.
Determine a corrente em um indutor com
se a tensão no indutor é dada por
. Suponha que a corrente é nula para
.