Considere o sistema abaixo. Desenho o diagrama de bode por assíntotas. Projete um controlador de atraso de fase de tal forma que o sistema possua constante de erro de velocidade de e margem de fase de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com a função de transferência . Precisamos desenhar o diagrama de Bode usando assíntotas e projetar um controlador de atraso de fase que faça com que o sistema tenha uma constante de erro de velocidade e uma margem de fase de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a constante de erro de velocidade . Ela nos ajuda a determinar o quão bem o sistema responde a uma entrada de degrau de velocidade, ou seja, uma rampa. A constante é definida como:
Onde é o controlador que vamos projetar.

Passo 3

Vamos calcular a constante de erro de velocidade atual do sistema sem controlador. Substituindo :
Mas queremos que . Isso significa que precisamos aumentar essa constante em um fator de 10.

Passo 4

Para aumentar , podemos usar um controlador proporcional . A nova constante de erro será:
Queremos que , então:
Então, nosso controlador inicial é um ganho proporcional de .

Passo 5

Agora, precisamos garantir que a margem de fase do sistema seja de . Para isso, vamos desenhar o diagrama de Bode do sistema com o ganho .
Primeiro, a função de transferência em malha aberta é:

Passo 6

No diagrama de Bode, temos dois pólos em e . A magnitude e a fase serão plotadas considerando esses pólos.
  • Magnitude: A magnitude decresce a após cada pólo.
  • Fase: Cada pólo contribui com de fase.
Com o ganho , ajustamos a magnitude para atingir a frequência onde a fase é adequada para obter a margem de fase desejada.

Passo 7

Para aumentar a margem de fase, vamos projetar um controlador de atraso de fase, que na verdade é um controlador de fase ‘lag’. Esse controlador adiciona ganho em baixas frequências, melhorando a constante de erro sem afetar muito a resposta em alta frequência.
A forma geral do controlador é:
Onde . Isso cria um atraso de fase na frequência de cruzamento de ganho.

Passo 8

Vamos escolher e de forma que a fase adicionada seja suficiente para alcançar a margem de fase de .
Calculando a nova frequência de cruzamento com o controlador:
Ajustamos e para que a fase total no ponto de cruzamento de ganho seja (pois queremos uma margem de fase de ).

Passo 9

Depois de ajustar os parâmetros do controlador e recalcular o diagrama de Bode, confirmamos que a margem de fase está adequada e que está atingida.

Resposta

O controlador projetado é:
onde e são ajustados para garantir uma margem de fase de e .

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