Determine a tensão em um indutor de indutância
se a corrente no indutor é
para
, sabendo que
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um indutor com uma indutância de
e queremos descobrir a tensão
nesse indutor quando a corrente que passa por ele é dada por
para
, sabendo que no tempo inicial
, a corrente é zero (
).
Para resolver isso, precisamos usar a relação que liga a tensão em um indutor à variação da corrente no tempo. Vamos precisar entender a fórmula que relaciona essas grandezas e como aplicá-la para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a tensão
em um indutor à variação da corrente
:
Aqui,
é a indutância do indutor, e
é a derivada da corrente em relação ao tempo, ou seja, como a corrente está mudando com o tempo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da corrente
. Para isso, precisamos usar a regra do produto da derivada, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.
Se temos
, então:
Onde
é a derivada de
e
é a derivada de
.
Passo 4
Identificando as partes da nossa corrente:
Vamos calcular as derivadas de cada uma:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora que temos a derivada da corrente, podemos calcular a tensão no indutor usando a fórmula inicial:
Substituindo
e a derivada que encontramos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Podemos também distribuir o
:
Resposta
A tensão no indutor é dada por: