Determine a tensão em um indutor de indutância L=0,1 H se a corrente no indutor é i(t)=20 t e^-2 t A para t>0, sabendo que i(0)=0.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um indutor com uma indutância de e queremos descobrir a tensão nesse indutor quando a corrente que passa por ele é dada por para , sabendo que no tempo inicial , a corrente é zero ( ).
Para resolver isso, precisamos usar a relação que liga a tensão em um indutor à variação da corrente no tempo. Vamos precisar entender a fórmula que relaciona essas grandezas e como aplicá-la para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a tensão V(t) = L di(t)dt em um indutor à variação da corrente :
Aqui, é a indutância do indutor, e é a derivada da corrente em relação ao tempo, ou seja, como a corrente está mudando com o tempo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da corrente di(t)dt = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t) . Para isso, precisamos usar a regra do produto da derivada, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.
Se temos , então:
Onde é a derivada de e é a derivada de .

Passo 4

Identificando as partes da nossa corrente:
u(t) = 20t e v(t) = e^-2t
Vamos calcular as derivadas de cada uma:
u'(t) = ddt(20t) = 20
v'(t) = ddt(e^-2t) = -2e^-2t

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto:
di(t)dt = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t)
Substituindo os valores que encontramos:
di(t)dt = 20 cdot e^-2t + 20t cdot (-2e^-2t) = 20e^-2t - 40t e^-2t
Podemos fatorar di(t)dt = 20e^-2t(1 - 2t) :

Passo 6

Agora que temos a derivada da corrente, podemos calcular a tensão no indutor usando a fórmula inicial:
V(t) = L di(t)dt
Substituindo V(t) = 0,1 cdot 20e^-2t(1 - 2t) e a derivada que encontramos:

Passo 7

Simplificando a expressão:
V(t) = 2e^-2t(1 - 2t)
Podemos também distribuir o V(t) = 2e^-2t - 4t e^-2t :

Resposta

A tensão no indutor é dada por:
V(t) = 2e^-2t(1 - 2t) , V

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