Para a função de transferência em malha aberta abaixo, obtenha uma expressão para a saída em regime permanente se a entrada for dada por r=5 sen(10 t).
G(s)=YR=4s^2+10 s+100

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência em malha aberta dada por:
G(s) = YR = 4s^2 + 10s + 100
E a entrada é uma função seno:
O que queremos encontrar é uma expressão para a saída em regime permanente, ou seja, como o sistema vai se comportar depois que tudo se estabilizar.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Função de Transferência: Relação entre entrada e saída no domínio de Laplace.
  2. Resposta em Regime Permanente: Como o sistema responde a longo prazo a uma entrada periódica.
  3. Análise de Frequência: Avaliar a função de transferência na frequência da entrada para encontrar a amplitude e fase da saída.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência da entrada. A função de entrada é:
Aqui, o coeficiente de 10 dentro do seno representa a frequência angular ( r(t) = 5 , sen(10t) ) da entrada, ou seja, omega.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função de transferência na frequência da entrada. Isso significa substituir s por jomega na função de transferência G(s):
G(jomega) = 4(jomega)^2 + 10(jomega) + 100
Substituindo omega = 10:
G(j10) = 4(j10)^2 + 10(j10) + 100

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
(j10)^2 = -100 10(j10) = j100
Então,
G(j10) = 4-100 + j100 + 100 = 4j100

Passo 5

Simplificando ainda mais:
G(j10) = 4j100 = 4100 cdot 1j = 4100 cdot (-j) = -j25
Isso nos dá a ganho de amplitude e a diferença de fase.

Passo 6

A função de transferência na frequência omega = 10 é:
G(j10) = -j25
Podemos interpretar isso como:
  • Amplitude: | G(j10) | = 125
  • Fase: ang<= G(j10) = -90^circ (porque -j representa uma rotação de -90^circ no plano complexo)

Passo 7

Agora, aplicamos esses valores à entrada para encontrar a saída em regime permanente. A entrada é:
A saída r(t) = 5 , sen(10t) terá a mesma frequência, mas será amplificada pela amplitude de y(t) e sofrerá um atraso de fase de G(j10):
Simplificando:

Resposta

A saída em regime permanente é:

Exercícios relacionados