Para a função de transferência em malha aberta abaixo, obtenha uma expressão para a saída em regime permanente se a entrada for dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência em malha aberta dada por:
E a entrada é uma função seno:
O que queremos encontrar é uma expressão para a saída em regime permanente, ou seja, como o sistema vai se comportar depois que tudo se estabilizar.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Função de Transferência: Relação entre entrada e saída no domínio de Laplace.
- Resposta em Regime Permanente: Como o sistema responde a longo prazo a uma entrada periódica.
- Análise de Frequência: Avaliar a função de transferência na frequência da entrada para encontrar a amplitude e fase da saída.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a frequência da entrada. A função de entrada é:
Aqui, o coeficiente de 10 dentro do seno representa a frequência angular (
) da entrada, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função de transferência na frequência da entrada. Isso significa substituir
por
na função de transferência
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Então,
Passo 5
Simplificando ainda mais:
Isso nos dá a ganho de amplitude e a diferença de fase.
Passo 6
A função de transferência na frequência
é:
Podemos interpretar isso como:
- Amplitude:
- Fase:
(porque representa uma rotação de no plano complexo)
Passo 7
Agora, aplicamos esses valores à entrada para encontrar a saída em regime permanente. A entrada é:
A saída
terá a mesma frequência, mas será amplificada pela amplitude de
e sofrerá um atraso de fase de
:
Simplificando:
Resposta
A saída em regime permanente é: