Para a função de transferência em malha aberta abaixo, traçar o Diagrama de Bode através de assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para traçar o Diagrama de Bode da função de transferência em malha aberta usando assíntotas. Isso envolve assuntos de controle de sistemas, especificamente análise de frequência. Precisamos identificar os zeros e polos da função, determinar as frequências de corte e construir as assíntotas para o diagrama de magnitude e fase.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os zeros e polos de .
  • Zeros: São os valores de que fazem o numerador igual a zero.
    Então, temos um zero em .
  • Polos: São os valores de que fazem o denominador igual a zero.
    Isso se resolve em:
    • (multiplicidade 2)
    Portanto, temos dois polos em e dois polos complexos em .

Passo 3

Agora, vamos determinar as frequências de corte para os zeros e polos. A frequência de corte ( ) é onde cada zero ou polo começa a afetar a inclinação do diagrama de Bode.
  • Zero em :
  • Polos em :
    (Como são polos na origem, eles afetam a inclinação desde o início.)
  • Polos em :

Passo 4

Com as frequências de corte identificadas, construímos as assíntotas para o diagrama de magnitude. A regra geral é:
  • Cada zero aumenta a inclinação em é após sua frequência de corte.
  • Cada polo diminui a inclinação em é após sua frequência de corte.
Vamos aplicar isso:
  1. Antes de :
    • Polos em (dois deles) causam uma inclinação inicial de é.
  2. Entre e :
    • O zero em adiciona é, então a inclinação passa a ser é.
  3. Após :
    • Os polos complexos adicionam é, então a inclinação final é é.

Passo 5

Agora, calculamos o ganho de pico inicial e ajustamos usando os coeficientes. A função tem um ganho estático de , que será nosso ponto de partida no diagrama de magnitude.
Além disso, precisamos considerar a presença de polos na origem, que afetam o ganho em baixas frequências, e ajustes devido aos demais polos e zeros.

Passo 6

Finalmente, plotamos as assíntotas no diagrama de Bode de magnitude e depois de fase, seguindo as inclinações determinadas e os pontos de inflexão nas frequências de corte. Para a fase, somamos as contribuições de cada polo e zero em cada faixa de frequência.

Resposta

O Diagrama de Bode para a função de transferência foi traçado utilizando assíntotas, considerando os polos e zeros identificados, suas frequências de corte e as respectivas inclinações. A magnitude inicia com uma inclinação de é, ajusta-se para é após a frequência de corte do zero, e finalmente alcança é após os polos complexos. A fase foi somada considerando as contribuições individuais de cada polo e zero.

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