Para a função de transferência em malha aberta abaixo, traçar o Diagrama de Bode através de assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para traçar o Diagrama de Bode da função de transferência em malha aberta
usando assíntotas. Isso envolve assuntos de controle de sistemas, especificamente análise de frequência. Precisamos identificar os zeros e polos da função, determinar as frequências de corte e construir as assíntotas para o diagrama de magnitude e fase.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e polos de
.
-
Zeros: São os valores de
que fazem o numerador igual a zero. Então, temos um zero em. -
Polos: São os valores de
que fazem o denominador igual a zero. Isso se resolve em:-
(multiplicidade 2) -
Portanto, temos dois polos eme dois polos complexos em . -
Passo 3
Agora, vamos determinar as frequências de corte para os zeros e polos. A frequência de corte (
) é onde cada zero ou polo começa a afetar a inclinação do diagrama de Bode.
-
Zero em
: -
Polos em
: (Como são polos na origem, eles afetam a inclinação desde o início.) -
Polos em
:
Passo 4
Com as frequências de corte identificadas, construímos as assíntotas para o diagrama de magnitude. A regra geral é:
- Cada zero aumenta a inclinação em
após sua frequência de corte. - Cada polo diminui a inclinação em
após sua frequência de corte.
Vamos aplicar isso:
-
Antes de
: - Polos em
(dois deles) causam uma inclinação inicial de .
- Polos em
-
Entre
e : - O zero em
adiciona , então a inclinação passa a ser .
- O zero em
-
Após
: - Os polos complexos adicionam
, então a inclinação final é .
- Os polos complexos adicionam
Passo 5
Agora, calculamos o ganho de pico inicial e ajustamos usando os coeficientes. A função tem um ganho estático de
, que será nosso ponto de partida no diagrama de magnitude.
Além disso, precisamos considerar a presença de polos na origem, que afetam o ganho em baixas frequências, e ajustes devido aos demais polos e zeros.
Passo 6
Finalmente, plotamos as assíntotas no diagrama de Bode de magnitude e depois de fase, seguindo as inclinações determinadas e os pontos de inflexão nas frequências de corte. Para a fase, somamos as contribuições de cada polo e zero em cada faixa de frequência.
Resposta
O Diagrama de Bode para a função de transferência
foi traçado utilizando assíntotas, considerando os polos e zeros identificados, suas frequências de corte e as respectivas inclinações. A magnitude inicia com uma inclinação de
, ajusta-se para
após a frequência de corte do zero, e finalmente alcança
após os polos complexos. A fase foi somada considerando as contribuições individuais de cada polo e zero.
Exercícios relacionados
Para a função de transferência em malha aberta abaixo, obtenha uma expressão para a saída em regime permanente se a entrada for dada por
.
Para a função de transferência em malha aberta abaixo, esboce o diagrama de bode por assíntotas.
Considere o sistema abaixo. Desenho o diagrama de bode por assíntotas. Projete um controlador de atraso de fase de tal forma que o sistema possua constante de erro de velocidade de
e margem de fase de
.
Determine a tensão em um indutor de indutância
se a corrente no indutor é
para
, sabendo que
.