Determine a corrente em um indutor com L=0,1 H se a tensão no indutor é dada por v(t)=10 t e^-5 t V. Suponha que a corrente é nula para t <= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um indutor com uma indutância de e a tensão no indutor é dada por . Queremos determinar a corrente que passa pelo indutor, sabendo que inicialmente, para , a corrente é nula. Para resolver isso, vamos utilizar a relação entre tensão e corrente em um indutor, que envolve cálculo de integrais.

Passo 2

A relação fundamental para um indutor é dada por:
v(t) = L di(t)dt
Isso significa que a tensão no indutor é igual à indutância multiplicada pela derivada da corrente em relação ao tempo. Nosso objetivo é encontrar di(t)dt = v(t)L , então vamos rearranjar essa equação para isolar :

Passo 3

Substituindo os valores dados na equação:
di(t)dt = 10 t e^-5 t0,1
di(t)dt = 100 t e^-5 t
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a derivada da corrente com o tempo.

Passo 4

Para encontrar i(t) = integral 100 t e^-5 t , dt , vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo:
Essa integral pode ser resolvida por partes. Lembre-se que a integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 5

Aplicando a integração por partes, onde:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^-5 t dt Rightarrow v = -15 e^-5 t
Usando a fórmula de integração por partes integral t e^-5 t dt = -t5 e^-5 t + 15 integral e^-5 t dt , temos:
= -t5 e^-5 t - 125 e^-5 t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à expressão para i(t) = 100 ( -t5 e^-5 t - 125 e^-5 t ) + C :
i(t) = -20 t e^-5 t - 4 e^-5 t + C
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial dada na questão: para 0 = -20 cdot 0 cdot e^0 - 4 e^0 + C , a corrente é nula, ou seja, 0 = -4 + C Rightarrow C = 4 . Vamos usar isso para encontrar a constante :

Resposta

A corrente no indutor é dada por:
i(t) = 4 e^-5 t - 20 t e^-5 t , A

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