Determine a corrente em um indutor com
se a tensão no indutor é dada por
. Suponha que a corrente é nula para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um indutor com uma indutância de
e a tensão no indutor é dada por
. Queremos determinar a corrente
que passa pelo indutor, sabendo que inicialmente, para
, a corrente é nula. Para resolver isso, vamos utilizar a relação entre tensão e corrente em um indutor, que envolve cálculo de integrais.
Passo 2
A relação fundamental para um indutor é dada por:
Isso significa que a tensão no indutor é igual à indutância multiplicada pela derivada da corrente em relação ao tempo. Nosso objetivo é encontrar
, então vamos rearranjar essa equação para isolar
:
Passo 3
Substituindo os valores dados na equação:
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a derivada da corrente com o tempo.
Passo 4
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo:
Essa integral pode ser resolvida por partes. Lembre-se que a integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 5
Aplicando a integração por partes, onde:
Usando a fórmula de integração por partes
, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à expressão para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial dada na questão: para
, a corrente é nula, ou seja,
. Vamos usar isso para encontrar a constante
:
Resposta
A corrente no indutor é dada por: