Determine a corrente em um indutor com se a tensão no indutor é dada por . Suponha que a corrente é nula para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um indutor com uma indutância de e a tensão no indutor é dada por . Queremos determinar a corrente que passa pelo indutor, sabendo que inicialmente, para , a corrente é nula. Para resolver isso, vamos utilizar a relação entre tensão e corrente em um indutor, que envolve cálculo de integrais.

Passo 2

A relação fundamental para um indutor é dada por:
Isso significa que a tensão no indutor é igual à indutância multiplicada pela derivada da corrente em relação ao tempo. Nosso objetivo é encontrar , então vamos rearranjar essa equação para isolar :

Passo 3

Substituindo os valores dados na equação:
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a derivada da corrente com o tempo.

Passo 4

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo:
Essa integral pode ser resolvida por partes. Lembre-se que a integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 5

Aplicando a integração por partes, onde:
Usando a fórmula de integração por partes , temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à expressão para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial dada na questão: para , a corrente é nula, ou seja, . Vamos usar isso para encontrar a constante :

Resposta

A corrente no indutor é dada por:

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