Demonstre o teorema da associatividade da multplicação de matrizes, isto é, mostre que, para matrizes
e
, com todas pertencendo ao
e com todos os produtos definidos,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A missão é mostrar que a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa provar que, se tivermos três matrizes
,
e
que podem ser multiplicadas entre si, então
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de multiplicação de matrizes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como multiplicamos matrizes. Se
é uma matriz
e
é uma matriz
, o produto
será uma matriz
. Cada elemento dessa nova matriz é calculado como a soma dos produtos dos elementos das linhas de
pelas colunas de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as matrizes
,
e
todas em
, o que significa que são matrizes quadradas de ordem
com entradas complexas. Queremos mostrar que
.
Passo 4
Vamos calcular
e
separadamente. Para
, primeiro multiplicamos
por
, resultando em uma matriz
. Depois, multiplicamos essa matriz
por
.
Passo 5
Para
, primeiro multiplicamos
por
, obtendo
. Em seguida, multiplicamos
por essa matriz
.
Passo 6
Vamos focar nos elementos individuais das matrizes resultantes. Seja
e
duas matrizes resultantes da multiplicação. O elemento na posição
de
é dado por:
E sabemos que:
Substituindo, temos:
Passo 7
De forma semelhante, o elemento na posição
de
é:
E:
Substituindo, temos:
Passo 8
Agora, observamos que ambas as expressões
e
resultam na mesma soma tripla dos elementos
,
, e
, apenas com índices trocados. Devido à comutatividade da multiplicação escalar, essas somas serão iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que
, provando que a multiplicação de matrizes é associativa.