Demonstre o teorema da associatividade da multplicação de matrizes, isto é, mostre que, para matrizes A, B e C, com todas pertencendo ao Mn(C) e com todos os produtos definidos,
(A B) C=A(B C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A missão é mostrar que a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa provar que, se tivermos três matrizes , e que podem ser multiplicadas entre si, então . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de multiplicação de matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como multiplicamos matrizes. Se é uma matriz e é uma matriz , o produto será uma matriz . Cada elemento dessa nova matriz é calculado como a soma dos produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de .

Passo 3

Agora, vamos considerar as matrizes , e todas em , o que significa que são matrizes quadradas de ordem com entradas complexas. Queremos mostrar que .

Passo 4

Vamos calcular e separadamente. Para , primeiro multiplicamos por , resultando em uma matriz . Depois, multiplicamos essa matriz por .

Passo 5

Para , primeiro multiplicamos por , obtendo . Em seguida, multiplicamos por essa matriz .

Passo 6

Vamos focar nos elementos individuais das matrizes resultantes. Seja sumk=1^n (AB)ik cdot Ckj e (AB)ik = suml=1^n Ail cdot Blk duas matrizes resultantes da multiplicação. O elemento na posição sumk=1^n ( suml=1^n Ail cdot Blk ) Ckj de é dado por:
E sabemos que:
Substituindo, temos:

Passo 7

De forma semelhante, o elemento na posição sumk=1^n Aik cdot (BC)kj de (BC)kj = summ=1^n Bkm cdot Cmj é:
sumk=1^n Aik cdot ( summ=1^n Bkm cdot Cmj )
E:
Substituindo, temos:

Passo 8

Agora, observamos que ambas as expressões e resultam na mesma soma tripla dos elementos , , e , apenas com índices trocados. Devido à comutatividade da multiplicação escalar, essas somas serão iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que , provando que a multiplicação de matrizes é associativa.

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