Demonstre o teorema da associatividade da multplicação de matrizes, isto é, mostre que, para matrizes e , com todas pertencendo ao e com todos os produtos definidos,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A missão é mostrar que a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa provar que, se tivermos três matrizes , e que podem ser multiplicadas entre si, então . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de multiplicação de matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como multiplicamos matrizes. Se é uma matriz e é uma matriz , o produto será uma matriz . Cada elemento dessa nova matriz é calculado como a soma dos produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de .

Passo 3

Agora, vamos considerar as matrizes , e todas em , o que significa que são matrizes quadradas de ordem com entradas complexas. Queremos mostrar que .

Passo 4

Vamos calcular e separadamente. Para , primeiro multiplicamos por , resultando em uma matriz . Depois, multiplicamos essa matriz por .

Passo 5

Para , primeiro multiplicamos por , obtendo . Em seguida, multiplicamos por essa matriz .

Passo 6

Vamos focar nos elementos individuais das matrizes resultantes. Seja e duas matrizes resultantes da multiplicação. O elemento na posição de é dado por:
E sabemos que:
Substituindo, temos:

Passo 7

De forma semelhante, o elemento na posição de é:
E:
Substituindo, temos:

Passo 8

Agora, observamos que ambas as expressões e resultam na mesma soma tripla dos elementos , , e , apenas com índices trocados. Devido à comutatividade da multiplicação escalar, essas somas serão iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que , provando que a multiplicação de matrizes é associativa.

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(i)
(ii)
(iii)