Demonstre o teorema da associatividade da multplicação de matrizes, isto é, mostre que, para matrizes e , com todas pertencendo ao e com todos os produtos definidos,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A missão é mostrar que a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa provar que, se tivermos três matrizes , e que podem ser multiplicadas entre si, então . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de multiplicação de matrizes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como multiplicamos matrizes. Se é uma matriz e é uma matriz , o produto será uma matriz . Cada elemento dessa nova matriz é calculado como a soma dos produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de .
Passo 3
Agora, vamos considerar as matrizes , e todas em , o que significa que são matrizes quadradas de ordem com entradas complexas. Queremos mostrar que .
Passo 4
Vamos calcular e separadamente. Para , primeiro multiplicamos por , resultando em uma matriz . Depois, multiplicamos essa matriz por .
Passo 5
Para , primeiro multiplicamos por , obtendo . Em seguida, multiplicamos por essa matriz .
Passo 6
Vamos focar nos elementos individuais das matrizes resultantes. Seja e duas matrizes resultantes da multiplicação. O elemento na posição de é dado por:
E sabemos que:
Substituindo, temos:
Passo 7
De forma semelhante, o elemento na posição de é:
E:
Substituindo, temos:
Passo 8
Agora, observamos que ambas as expressões e resultam na mesma soma tripla dos elementos , , e , apenas com índices trocados. Devido à comutatividade da multiplicação escalar, essas somas serão iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que , provando que a multiplicação de matrizes é associativa.