Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Sejam
e
matrizes. Se
então
.
(b) Sejam
e
matrizes
tais que
é inversível. Então,
é inversível.
(a) Sejam
(b) Sejam
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que cada afirmação está dizendo e identificar qual área da matemática estamos lidando. As duas afirmações tratam de propriedades de matrizes, mais especificamente de matrizes quadradas e suas propriedades de invertibilidade. Para resolver, vamos precisar conhecer conceitos como igualdade de matrizes e matrizes inversíveis.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Sejam
e
matrizes. Se
então
.
Para verificar se isso é verdadeiro ou falso, precisamos pensar se multiplicar a mesma matriz
pelas matrizes
e
sendo iguais implica que
e
também são iguais.
Teoria aplicada: Em geral, a multiplicação de matrizes não preserva a igualdade a menos que a matriz
seja invertível. Se
é invertível, podemos “cancelar”
dos dois lados da equação
, resultando em
. Porém, se
não for invertível, esse cancelamento não é possível e, portanto,
pode não ser igual a
mesmo que
.
Passo 3
Vamos ver se podemos encontrar um contra-exemplo onde
mas
.
Considere:
Calculando
:
Calculando
:
Oops, nesse caso
. Vamos tentar outro exemplo.
Considere:
Calculando
e
:
Ambos serão a matriz nula:
Mas claramente
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Sejam
e
matrizes
tais que
é inversível. Então,
é inversível.
Queremos saber se, se o produto
é inversível, isso garante que
também seja inversível.
Teoria aplicada: Uma matriz é inversível se e somente se ela tiver determinante diferente de zero. Além disso, sabemos que o produto de matrizes inversíveis é inversível, e que se o produto
é inversível, então tanto
quanto
devem ser inversíveis. Isso porque, se
é inversível, existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 5
Para provar que
é inversível, assumindo que
é inversível, podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de
:
Isso mostra que existe uma inversa para
, ou seja,
é inversível.
Resposta
A afirmação (b) é Verdadeira. Se
é inversível, então
também é inversível.