Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Sejam e matrizes. Se então .
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que cada afirmação está dizendo e identificar qual área da matemática estamos lidando. As duas afirmações tratam de propriedades de matrizes, mais especificamente de matrizes quadradas e suas propriedades de invertibilidade. Para resolver, vamos precisar conhecer conceitos como igualdade de matrizes e matrizes inversíveis.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Sejam e matrizes. Se então .
Para verificar se isso é verdadeiro ou falso, precisamos pensar se multiplicar a mesma matriz pelas matrizes e sendo iguais implica que e também são iguais.
Teoria aplicada: Em geral, a multiplicação de matrizes não preserva a igualdade a menos que a matriz seja invertível. Se é invertível, podemos “cancelar” dos dois lados da equação , resultando em . Porém, se não for invertível, esse cancelamento não é possível e, portanto, pode não ser igual a mesmo que .
Passo 3
Vamos ver se podemos encontrar um contra-exemplo onde mas .
Considere:
Calculando :
Calculando :
Oops, nesse caso . Vamos tentar outro exemplo.
Considere:
Calculando e :
Ambos serão a matriz nula:
Mas claramente .
Passo 4
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
Queremos saber se, se o produto é inversível, isso garante que também seja inversível.
Teoria aplicada: Uma matriz é inversível se e somente se ela tiver determinante diferente de zero. Além disso, sabemos que o produto de matrizes inversíveis é inversível, e que se o produto é inversível, então tanto quanto devem ser inversíveis. Isso porque, se é inversível, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade.
Passo 5
Para provar que é inversível, assumindo que é inversível, podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de :
Isso mostra que existe uma inversa para , ou seja, é inversível.
Resposta
A afirmação (b) é Verdadeira. Se é inversível, então também é inversível.