Encontre a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema abaixo e a use para apresentar uma descrição paramétrica de seu conjunto solução:
l x+2 y-z=1 3 x+y+2 z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando matrizes. O que a gente precisa fazer é transformar a matriz aumentada desse sistema na forma escalonada reduzida, que vai facilitar pra entender as soluções possíveis. Para isso, vamos usar operações de linhas na matriz. As equações que temos são:
l x + 2y - z = 1 3x + y + 2z = 2

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 1 & 2 & | & 2

Passo 3

Agora, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (o que já está) e zerar o elemento abaixo dele. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 3 vezes a primeira linha:
Nova segunda linha = Linha 2 - 3 × Linha 1
Calculando:
3 - 3×1 = 0 1 - 3×2 = 1 - 6 = -5 2 - 3×(-1) = 2 + 3 = 5 2 - 3×1 = 2 - 3 = -1
Então, a matriz fica assim:
1 & 2 & -1 & | & 1 0 & -5 & 5 & | & -1

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha para que o coeficiente de 0 ÷ (-5) = 0 -5 ÷ (-5) = 1 5 ÷ (-5) = -1 -1 ÷ (-5) = 15 seja 1. Para isso, dividimos toda a segunda linha por -5:
Nova segunda linha = (Linha 2) ÷ (-5)
Calculando:
1 & 2 & -1 & | & 1 0 & 1 & -1 & | & 15
A matriz fica:

Passo 5

Agora, queremos zerar o coeficiente de 1 - 2×0 = 1 2 - 2×1 = 2 - 2 = 0 -1 - 2×(-1) = -1 + 2 = 1 1 - 2×15 = 1 - 25 = 35 na primeira linha. Para isso, vamos substituir a primeira linha pela primeira linha menos 2 vezes a segunda linha:
Nova primeira linha = Linha 1 - 2 × Linha 2
Calculando:
1 & 0 & 1 & | & 35 0 & 1 & -1 & | & 15
A matriz fica:

Passo 6

Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida. Com ela, podemos escrever as equações correspondentes:
x + z = 35 y - z = 15

Passo 7

Vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro. Vamos escolher x = 35 - t , onde y = 15 + t é um número real qualquer. Então:
Da primeira equação:
Da segunda equa�o:

Resposta

A solução paramétrica do sistema é:
x = dfrac35 - t y = dfrac15 + t z = t
onde é um número real qualquer.

Exercícios relacionados