Encontre a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema abaixo e a use para apresentar uma descrição paramétrica de seu conjunto solução:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando matrizes. O que a gente precisa fazer é transformar a matriz aumentada desse sistema na forma escalonada reduzida, que vai facilitar pra entender as soluções possíveis. Para isso, vamos usar operações de linhas na matriz. As equações que temos são:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:

Passo 3

Agora, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (o que já está) e zerar o elemento abaixo dele. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 3 vezes a primeira linha:
Nova segunda linha = Linha 2 - 3 × Linha 1
Calculando:
Então, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha para que o coeficiente de seja 1. Para isso, dividimos toda a segunda linha por -5:
Nova segunda linha = (Linha 2) ÷ (-5)
Calculando:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, queremos zerar o coeficiente de na primeira linha. Para isso, vamos substituir a primeira linha pela primeira linha menos 2 vezes a segunda linha:
Nova primeira linha = Linha 1 - 2 × Linha 2
Calculando:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida. Com ela, podemos escrever as equações correspondentes:

Passo 7

Vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro. Vamos escolher , onde é um número real qualquer. Então:
Da primeira equação:
Da segunda equa�o:

Resposta

A solução paramétrica do sistema é:
onde é um número real qualquer.

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Sejam e matrizes. Se então .
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
Considere o sistema abaixo
Encontre todos os valores de para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de .
(a) Determine, se existir, a inversa da matriz .
(b) Escreva a matriz , do item anterior, como produto de matrizes elementares, explicitando estas matrizes.
Sejam e vetores em .
(a) Se , mostre que
(b) Se , gera o ?