Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante
. Determine estimativas para erros de arredondamento e truncamento dos seguintes números:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um sistema de aritmética de ponto flutuante
e nos pede para determinar as estimativas de erros de arredondamento e truncamento para o número
.
Conteúdo da matéria:
- Sistemas de ponto flutuante: São utilizados para representar números reais de forma aproximada em computadores. Eles são definidos pela base, precisão, expoente mínimo e máximo.
- Erros de arredondamento e truncamento: São as diferenças entre o valor real e a representação aproximada no sistema de ponto flutuante.
O que vamos precisar:
- Entender a estrutura do sistema
. - Saber como representar o número
nesse sistema. - Calcular os erros de arredondamento e truncamento com base nessa representação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
.
- Base (10): Estamos trabalhando na base 10, ou seja, nosso sistema numérico é decimal.
- Precisão (4): Cada número é representado com 4 dígitos significativos.
- Expoente mínimo (-9) e máximo (9): Os expoentes podem variar de -9 a 9.
Então, no sistema
, qualquer número será representado na forma científica com 4 dígitos significativos e um expoente entre -9 e 9.
Passo 3
Agora, vamos representar o número
nesse sistema.
Para isso, precisamos expressar
em notação científica com 4 dígitos significativos:
Arredondando para 4 dígitos significativos:
No sistema
,
é representado como
.
Passo 4
Vamos calcular o erro de truncamento. Esse erro ocorre quando simplesmente cortamos os dígitos extras sem arredondar.
A representação truncada de
com 4 dígitos é
.
O valor truncado é:
O erro de truncamento é a diferença entre o valor real e o truncado:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro de arredondamento. Esse erro ocorre quando arredondamos o número para o dígito mais próximo.
Na representação arredondada com 4 dígitos,
é
.
Como o próximo dígito após o quarto é 4 (no número original
), que é menor que 5, não arredondamos para cima.
Portanto, o valor arredondado é o mesmo que o truncado:
O erro de arredondamento é igual ao erro de truncamento neste caso:
Resposta
As estimativas para os erros são:
- Erro de Truncamento:
- Erro de Arredondamento: