Dada uma curva paramétrica x = f(t) e y = g(t), sabemos que muitas vezes podemos eliminar o parâmetro t nas equações para obter uma função y = h(x).
a) Use a regra regra da cadeia para obter d/y d/x e, em seguida, obtenha d²y/dx²;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida de forma paramétrica, ou seja, x e y são expressos em termos de um parâmetro t: e . O objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de y em relação a x ( ) e, em seguida, a segunda derivada ( ). Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia em derivação e como lidar com funções paramétricas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada . Como y e x são funções de t, podemos usar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.
A regra da cadeia para é dada por:
Isso significa que derivamos y em relação a t e dividimos pelo derivar de x em relação a t.

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a t:
E derivar x em relação a t:
Então, substituindo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Para isso, derivamos em relação a x. Usando novamente a regra da cadeia, temos:
Sabemos que .

Passo 5

Vamos derivar em relação a t:
Isso é resultado da derivada de uma fração, onde aplicamos a regra do quociente.

Passo 6

Agora, multiplicamos essa derivada por :

Resposta

A segunda derivada de y em relação a x é:

Exercícios relacionados