Dada uma curva paramétrica
e
, sabemos que muitas vezes podemos eliminar o parâmetro
nas equações para obter uma função
.
a) Use a regra regra da cadeia para obter
e, em seguida, obtenha
;
a) Use a regra regra da cadeia para obter
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida de forma paramétrica, ou seja, x e y são expressos em termos de um parâmetro t:
e
. O objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de y em relação a x (
) e, em seguida, a segunda derivada (
). Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia em derivação e como lidar com funções paramétricas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada
. Como y e x são funções de t, podemos usar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.
A regra da cadeia para
é dada por:
Isso significa que derivamos y em relação a t e dividimos pelo derivar de x em relação a t.
Passo 3
Agora, vamos derivar y em relação a t:
E derivar x em relação a t:
Então, substituindo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, derivamos
em relação a x. Usando novamente a regra da cadeia, temos:
Sabemos que
.
Passo 5
Vamos derivar
em relação a t:
Isso é resultado da derivada de uma fração, onde aplicamos a regra do quociente.
Passo 6
Agora, multiplicamos essa derivada por
:
Resposta
A segunda derivada de y em relação a x é: