Encontre uma aproximação para a solução não-nula e positiva da equação
e^{-x^{2}} sen(x/2) = 2x - 1
com precisão epsilon = 0.0002, utilizando o método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton. A equação que a gente tem é:
Aqui, a gente precisa encontrar um valor de que satisfaça essa igualdade com uma precisão de . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma . Assim, temos:
Agora, nossa meta é encontrar o valor de que faz .

Passo 3

O Método de Newton utiliza a seguinte fórmula iterativa para aproximar a raiz:
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é a derivada de no ponto .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . A função é:
Aplicando as regras de derivação, temos:

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma aproximação inicial . Vamos tentar , por ser um valor próximo de onde esperamos que a solução esteja.

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula de Newton:
  1. Calcular e .
  2. Atualizar .
  3. Repetir o processo até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 7

Vamos realizar as iterações:
  • Iteração 1:
    • Calcular e
    • Atualizar
  • Iteração 2:
    • calculado na iteração anterior
    • Calcular e
    • Atualizar
  • Continuar esse processo até que

Passo 8

Após realizar as iterações necessárias, chegamos a uma aproximação onde a diferença entre duas iterações consecutivas é menor que .

Resposta

A solução aproximada da equação é .

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