Encontre uma aproximação para a solução não-nula e positiva da equação
com precisão
, utilizando o método de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton. A equação que a gente tem é:
Aqui, a gente precisa encontrar um valor de
que satisfaça essa igualdade com uma precisão de
. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma
. Assim, temos:
Agora, nossa meta é encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
O Método de Newton utiliza a seguinte fórmula iterativa para aproximar a raiz:
Onde:
-
é a aproximação atual. -
é a derivada de no ponto .
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. A função
é:
Aplicando as regras de derivação, temos:
Passo 5
Agora, precisamos escolher uma aproximação inicial
. Vamos tentar
, por ser um valor próximo de onde esperamos que a solução esteja.
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula de Newton:
- Calcular
e . - Atualizar
. - Repetir o processo até que a diferença entre
e seja menor que .
Passo 7
Vamos realizar as iterações:
-
Iteração 1:
-
- Calcular
e - Atualizar
-
-
Iteração 2:
-
calculado na iteração anterior - Calcular
e - Atualizar
-
-
Continuar esse processo até que
Passo 8
Após realizar as iterações necessárias, chegamos a uma aproximação onde a diferença entre duas iterações consecutivas é menor que
.
Resposta
A solução aproximada da equação é
.